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1、二角形“四心”向量形式的应用一.知识总结1、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点）命题一：G是厶ABC的重心=GA GB GC =0命题二：PG =1（Pa PB PC GABC的重心（P是平面上的点）.命题三：点O是三角形ABC的重心则S aob = S boc = S coa变式：已知D, E, F分别为 ABC的边BC, AC, AB的中点.则 AD BE0 .变式引申：平行四边形ABCD的中心为O , P为该平面上任意一点，则1 -PO （PA PB PC PD）42、三角形的垂心的向量表示及应用:： 匸边高线交点）命题一：h是厶abc的垂心=HA iHB/HA例1:若HABC所在平
2、面内一点，且 H2 TBC? =|HB2 *总严=|H+|ab,2则点H是厶ABC的垂心3 .外心（三边垂直平分线交点，彳接圆圆心）命题一：O是厶 ABC的外心二 I OA|=| OB|=| OC|（离相等）4.内心（角平分线交点，内切圆圆心）命题一：O是厶ABC的内心.OB（豆一虽）（吕-或oA2=ob2=oc2）（点 O到三边距AB ACOA *（）I AB| hAC_ _/LBAI 丄4命题二：IAB |PC | BC | PA | CA | PB =0= P ABC 的内心；I变式：向量，（岀洋）（，0）所在直线过 ABC的内心（是/ BAC的角平分线所在|AB| |AC I直线）；例
3、1.已知0是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点 P满足 AC ）,“（0,讼）,则动点P的轨迹一定通过厶ABCB（）AB|cosB |aC|cosCB.内心 C 重丿心D 垂心AB-ACIaB sin BOP =oA+”一AA .外心变形:(1) OP =OA (2)+ABACOP = OA (BACAB cosB AC cosC)A (0,址)AC1 si nCI),(0,：)(3)PB = -PC例2：点O在厶ABC内部且满足OA 2OB 2O = 0 ,则厶ABC面积与凹四边形 ABOC 的面积之比（）A 0 B 3/2 C 5/4 D 4/3变形引申：OAmOBnOC
4、=0，求 ABC面积与凹四边形 伴坐的的面积之比5外心与重心：0是厶ABC勺外心，G是重心，则OG =A B C36. 外心与垂心：是厶ABC勺外心，H是垂心，贝U OH=A.OC _7. 重心与垂心：6是厶ABC的重心，H是垂心，则 忑二ha HB HC38. 外心、重心、垂心：O G H分别是锐角 ABC勺外心、重心、垂心，则G JOH39. 欧拉定理”锐角三角形的 三心”一-卜心、重心、垂心的(1) 三角形的外心、重心、垂心三点共线 一一欧拉线”(2) 三角形的重心在 欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2倍。二.练习1.已知A、B、C是平面
5、上不共线的三点，是三角形ABC的重心，动点P满足Op=3(1A + 2OB+2Oc),则点P一定为三角形ABC的()AAB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) _C.重心D.AB边的中点2. 在同一个平面上有 ABC及一点O满足关系式：人2+民2=衽2+忍2= C2 + AB2,则0为厶ABC的()A.外心 B.内心C.重心D.垂心3. 已知 ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA pb P.0，则P为 ABC的()A.外心B.内心C.重心 D.垂心4. 知_是平面上一定点，A B C是平面上不共线的三个点，动点 P满足：OP = (AB AC)，贝u p的轨迹一定通过
6、厶abc勺()A.外心B.内心C.重心D.垂心5.已知 ABC P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a PA b PB P0，则P点为三角形的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心2 26. 在三角形ABC中，动点P满足：CA CB -2AB *CP，则P点一定通过 ABC的 ( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心_7. 非零向量AB与AC满足(ABi + AC ) BC =0且AE AC =-,则厶ABC为| AB | | AC | AB| AC | 2()A三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角 D.等边三角形 8点是三角形ABC所在平面内的一点，满足AB
7、=B C =C A，则点是 ABC勺()(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D三条高的交点9. P是厶ABC所在平面上一点，若PA PB = PB PC=PC PA，则P是厶ABC ()A .外心B .内心 C .重心 D .垂心ABAC10.已知非零向量ABW疋满足（+|Afi| |AC|) BC=0 且|A6|=2 ,则厶 ABC|AC| 2为（）A.三边均不相等的三角形C等腰非等边三角形.直角三角形.等边三角形11.已知向量a工e，| e| = 1,对任意 t R,恒有 I a -1 e| | a e|，贝U()(A) a 丄 e (B) a
8、 丄(a e) (C) e 丄(a e) (D) ( a + e)丄(a e)12.在四边形A B C D，AB BD + BD DC =4，AB BD 二 BD DC = 0，则(AB DC) AC 的值为()B. 2 2C. 4D. 4213. ABC的外接圆的圆心为 Q两条边上的高的交点为 H, OH =m（OA OB ，则实数m =A. 2C. 414.平面内有三个向量 OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120, OA与OC的夹角为30，且OA =OB =1，OC = 2.3 .若OC = OA，r)，值为.15.如图，在厶ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别 交 直线A
9、B，AC于不同的两点M ， N，若ABmAM，AC = nAN，16.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.MAO C如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若 OC =xOA yOB,其中 x, y R,则 x y 的最大值是.17.在厶ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足AP = 2 PM,则PA (PB PC) =18.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD= xABy AC，则.5D1；当 -2 时，19.如图1, OM /AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域 内（不含边界）运动,且OP=xOAyOB,则x的取值范围是y的取值范围是.20.如图，在直角厶ABC中，已知CBC =a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与 BC的夹角二取何值时BP CQ的值最大？并求出这个最大值。
