《【最新版】高考数学理科总复习【第八章】立体几何与空间向量 第九节》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【最新版】高考数学理科总复习【第八章】立体几何与空间向量 第九节(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、最新版教学资料数学第九节空间向量的应用(二)1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系2.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)3.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的作用知识梳理一、利用向量证明平行1证线线平行(面面平行)方法:ab(b0) ab.2证线面平行方法:(法一)利用共面向量定理,如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y,使cxayb.(法二)证平面的法向量与该直线垂直二、利用向量证明垂直1证线线垂直方法:ab0ab.2证线
2、面垂直方法:转化为证线线垂直三、利用向量求距离1求点到平面的距离:已知AB为平面的一条斜线段,C为点A在平面的射影,n为平面的法向量,则A到平面的距离d.2求直线到平面的距离:转化为点到平面的距离去求3求两平面间的距离:转化为点到平面的距离去求4.两条异面直线距离:分别在直线a,b上取定向量a,b,求与向量a,b都垂直的向量n,分别在a,b上各取一个定点A,B,则异面直线a,b间的距离d等于在n上的射影长,即d.基础自测1已知直线a的方向向量为a,平面的法向量为n,下列结论成立的是()A若an,则aB若an0,则a来源:C若an,则aD若an0,则a解析:由方向向量和平面法向量的定义可知应选C
3、.对于选项D,直线a平面也满足an0.答案:C2向量a(2,3,1),b(2,0,4),c(4,6,2),下列结论正确的是()Aab,bc Bab,acCac,ab D以上都不对解析:因为c2a,ab0,所以ac,ab,故选C.答案:C3在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是_答案:a4已知矩形ABCD中,AB1,BCa(a0),PA平面AC,且PA1,若在BC边上存在一点Q,使得PQQD,则a的取值范围是_.答案:4.2,)来源:1(2012大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB2,CC12,E为CC1的中点,则直线AC
4、1与平面BED的距离为 ()A2 B. C. D1解析:由已知可得AC14,取AC与BD的中点O,连接OE,显然有AC1OE且平面ACC1A1平面BED,AC1与平面BED的距离即为AC1与OE的距离,又AB2,CC12,AC2,CC1AC,平面AA1C1C为正方形,AC1与平面BED的距离为CA11.故选D.答案:D2(2013北京卷)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC平面AA1C1C,AB3,BC5.(1)求证:AA1平面ABC;(2)求二面角A1BC1B1的余弦值;(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得ADA1B,并求的值(1)证明:因
5、为AA1C1C为正方形,所以AA1AC,因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC.(2)解析:由(1)知AA1AC,AA1AB.由题知AB3,BC5,AC4.所以ABAC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),(0,3,4),(4,0,0)设平面A1BC1的法向量为n(x,y,z),则即得x0,令z3,则y4,所以n(0,4,3)同理可得,平面BB1C1的法向量为m(3,4,0),所以cosn,m.由题知二面角A1BC1B1为锐角,所以二面角A1BC1B1的余弦
6、值为.(3)证明:设D(x1,y1,z1)是直线BC1上一点,且.则由(1)可得(x1,y13,z1)(4,3,4)解得x14,y133,z14.所以(4,33,4)由0,即9250.解得.来源:因为0,1,所以在线段BC1上存在点D,使得ADA1B.此时.1在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M为AB的中点,则点C到平面A1DM的距离为() A.aB.a C.a D.a答案:A2(2013梅州二模)如图,侧棱垂直底面的三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC,AA1ABAC3,ABACt(t0)(1)当AA1ABAC时,求证:A1C平面ABC1;(2)若二面角ABC1C的平面角的余弦值
7、为,试求实数t的值(1)证明:因为AA1面ABC,所以AA1AC,AA1AB.又因为ABAC,所以分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0),C1(0,1,1),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),所以(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0),所以0,0,所以,.又因为AC1ABA,所以A1C平面ABC1.(2)解析:分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0),C1(0,t,32t),B(t,0,0),C(0,t,0),A1(0,0,32t),所以(0,t,2t3),(0,t,32t),(t,0,0),(0,0,32t),(t,t,0)来源:设平面ABC1的法向量m(x,y,z),则即来源:数理化网令zt,则m(0,2t3,t)同理可求平面BCC1的法向量n(1,1,0)设二面角ABC1C的平面角为,则有|cos |.化简得5t216t120,解得t2(舍去)或t.所以当t时,二面角ABC1C的平面角的余弦值为.