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1、高考数学精品复习资料 2019.5D单元数列 D1 数列的概念与简单表示法17、20xx江西卷 已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求数列cn的通项公式；(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn.17解：(1)因为anbn1an1bn2bn1bn0，bn0(nN*)，所以2，即cn1cn2，所以数列cn是以c11为首项，d2为公差的等差数列，故cn2n1.(2)由bn3n1，知an(2n1)3n1，于是数列an的前n项和Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，将两式相减得
2、2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以Sn(n1)3n1.17、20xx新课标全国卷 已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an.(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由17解：(1)证明：由题设，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1.因为an10，所以an2an.(2)由题设，a11，a1a2S11，可得 a21，由(1)知，a31.若an为等差数列，则2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项
3、为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列17、20xx新课标全国卷 已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.17解：(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an，因此数列an的通项公式为an.(2)证明：由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以，即.于是1.所以.22，20xx重庆卷 设a11，an1b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你
4、的结论22解：(1)方法一：a22，a31.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nN*)方法二：a22，a31.可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用数学归纳法证明上式当n1时，结论显然成立假设nk时结论成立，即ak1，则ak1111，这就是说，当nk1时结论成立所以an1(nN*)(2)方法一：设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用数学归纳法证明命题a2nca2n11.当n1时，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2a31，结论成立假设nk时结论成立，即a2kc
5、a2k1f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31，因此a2(k1)ca2(k1)11，这就是说，当nk1时结论成立综上，存在 c使a2nCa2a1对所有nN*成立方法二：设f(x)1，则an1f(an)先证：0an1(nN*)当n1时，结论明显成立假设nk时结论成立，即0ak1.易知f(x)在(，1上为减函数，从而0f(1)f(ak)f(0)11.即0ak11.这就是说，当nk1时结论成立故成立再证：a2na2n1(nN*)当n1时，a2f(1)0，a3f(a2)f(0)1，所以a2a3，即n1时
6、成立假设nk时，结论成立，即a2kf(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2k2)a2(k1)1.这就是说，当nk1时成立所以对一切nN*成立由得a2n1，即(a2n1)2a2a2n2，因此a2nf(a2n1)，即a2n1a2n2.所以a2n11，解得a2n1.综上，由知存在c使a2nc0，a7a100，a7a10a8a90，a960n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由18解：(1)设数列an的公差为d，依题意得，2，2d，24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2.从而得数列
7、an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n，显然2n60n800成立当an4n2时，Sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的正整数n；当an4n2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.20、20xx湖南卷 已知数列an满足a11，|an1an|pn，nN*.(1)若an是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；(2)若p，且a2n1是递增数列，a2n是递减数列，求数列an的通项公式20解：(1)因为an是递增数列，所以an1an|an1an|pn.而a11
8、，因此.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2a13a3，因而3p2p0，解得p或p0.当p0时，an1an，这与an是递增数列矛盾，故p.(2)由于a2n1是递增数列，因而a2n1a2n10，于是(a2n1a2n)(a2na2n1)0.因为，所以|a2n1a2n|0，因此a2na2n1.因为a2n是递减数列，同理可得，a2n1a2n0，故a2n1a2n.由可知，an1an.于是ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11.故数列an的通项公式为an.820xx辽宁卷 设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列，则()Ad0 Ca1d08C解析 令bn2a1an，因为数列
9、2a1an为递减数列，所以2a1(an1an)2a1d1，所得a1d0.18、20xx全国卷 等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.18解：(1)由a110，a2为整数知，等差数列an的公差d为整数又SnS4，故a40，a50，于是103d0，104d0，解得d，因此d3.故数列an的通项公式为an133n.(2)bn.于是Tnb1b2bn.17、20xx新课标全国卷 已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an.(2)是否存在，使得an为等差数列？
10、并说明理由17解：(1)证明：由题设，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1.因为an10，所以an2an.(2)由题设，a11，a1a2S11，可得 a21，由(1)知，a31.若an为等差数列，则2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列19，20xx山东卷 已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.
