《2020年二轮复习完美题型汇编导数第2讲导数研究函数单调性教师》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年二轮复习完美题型汇编导数第2讲导数研究函数单调性教师（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数研究函数单调性1.函数的导数与单调性的关系函数y = f(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0,则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0,则f(x)在这个区间内单调递减；若f(x) = 0,则f(x)在这个区间内是常数函数.常用结论1 .在某区间内f(x)0( f(x)0(f (x)w0),且f(x)在(a, b)的任何子区间内都不恒为零.完美题型展现题型一判断函数单调性【玩转角度1】求不含参函数单调性例1 (1)函数f(x) = x ex-ex + 1的递增区间是()A.(一巴 e)B. (1 , e)C. (e,+)D.(e 1,+8)解析 由 f (x) = x ex
2、 ex + 1,得 f(x)=(x+ 1 -e) ex,令 f(x)0 ,解得 xe - 1 ,所以函数f(x)的递增区间是(e 1, +oo).(2)已知函数f(x)=xln x ,则f(x)的单调递减区间是 L解析 因为函数f(x) = xln x的定义域为(0, 十),所以 f(x)=ln x+1(x0),1当f(x)0时，解得0x0 ,则其在区间(一兀，兀)上的解集为 一兀，71一 U兀即f(x)的单调递增区间为一兀，一：2和0,71【玩转角度2】讨论含参函数单调性2x- 1例 2 已知 f (x) = a(x lnx) +二一，ae r.讨论f(x)的单调性. x2解：f(x)的定义
3、域为(0 ,+ 0)(ax22) (x 1)x3当 a0 , f(x)单调递增,x (1 ,)时，f z(x)0 时，f(x) =f(x)单调递减.a (x 1)当0 a0f(x)单调递增,f(x)2 时，0 1，当 x C 0 ,或 x C (1增，当 xe1 时f(x)0，f(x)单调递减.综上所述，当a0时，f(x)在(0 , 1)内单调递增，在(1 ,当0 a2时，f(x)在0, sjj内单调递增，在 3/，1递,f(x)单调递增.,+8)时,1(x)0 , f(x)单调递+ OO )内单调递减；内单调递减，在 A+OO内内单调递减，在(1 , +8)内单调玩转秘籍利用导数求函数单调区
4、间的三种方法1 .当不等式fx00或fx)0或f x)0 或 x)0 及方程 x)=0 均不可解口寸，根据 x)的结构特征，构造新题型/I训B. (0,1)1.函数y = 2x ax2 ax +1 解f(x)的定义域为(0, +8), f 2时，令f(x) = 0,-ln x的单调递减区间为()x- 1 x+1xA. (-1,1)解函数y = x2 ln x的定义域为(0 , +), y 次=2x x令 V 0.所以f(x)在0a-Ja2 - 42a+Ja2-42,+上单调递减，在a - 1a2 42a + a2 42上单调递增.综合可知,当 a2时，f(x)在0a7 a2 42a + a2-
5、42，+ oo上单调递减，在a-Ja2-4 a + a2- 4上单调递增.3.已知函数 g(x) = ln x + ax2 + bx ,其中g(x)的函数图象在点(1, g(1)处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系;(2)若a0,试讨论函数g(x)的单调性.1解：(1) g(x)= + 2ax+b(x 0).由函数g(x)的图象在点(1 , g (1)处的切线平行于 x轴, x得 g (1) = 1+2a + b = 0,所以 b = - 2a- 1.2ax22a+1 x+12ax - 1 x - 1(2)由(1)得 g (x)=xxx 1因为函数g(x)的定义域为(0, +OO),所以
6、当a=0时，g(x) = x由 g (x)0,得 0 vxv 1,由 g (x)v 0,得 x1 ,即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1 , +8)上单调递减.当 a0 时，令 g (x) = 0,得 x = 1 或 x = ,2a1111若W2,由g 加0,得 x1 或 0x2；,由 g (x)0,得2ax 1,即 0va一，由 g (x) 0 ,得 x 或 0 vx v 1 ,由 g (x) v 0,得 1 x0, 2a2即函数g(x)在(0, +8)上单调递增.综上可得，当a = 0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1 , +)上单调递减;111当0a一时，函数g(x)
7、在0, 一 , (1 , + 222a18)上单调递增，在 一，1上单调递减.2a题型二 已知函数单调性求参例3设函数f(x) = _x3-_x2+ bx +c,曲线y = f(x)在点(0 , f (0)处的切线方程为y=1. 32求b , c的值；(2)若a0,求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x) = f (x) +2x,且g (x)在区间(一2, 1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.f(0)=1, c=1,解：(1) f(x) = x2 ax +b ,由题意得即f 0) = 0, b = 0.(2)由(1)得，f(x)=x2 ax = x(x a)(a0),当 x C
8、(8, 0)时，fx)0；当 x e(0 , a)时，f(x)vo；当 x e (a, +8)时，r(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(一8, 0), (a, +8),单调递减区间为(0, a). g(x) = x2 ax+2 ,依题意，存在 x C ( 2 , 1),使不等式 g(x)=x2ax + 2v0成立，即xC( 2, 1)时，a x+-=- 22,当且仅当x =-即x = J2时等号成立.x maxx-所以满足要求的a的取值范围是(一8, 2啦).母题变式1 .在本例第(3)问中，若改为g(x)在(-2, 1)内为减函数，如何解？解：解法一：: g(x) = x2 ax +
9、 2,且g(x)在(一2, 1)内为减函数，g(x)wo,即 x2-ax + 20 在(一2, 1)内恒成立，g (-2) W0,4 + 2a+20,即解得aw3,即实数a的取值范围为(一8, 3.g (T ) wo,1 +a + 2x + x在( 2, 1)上恒成立，又 y = x+；的值域为(3,一2近，a的取值范围是2, +8,函数g(x)在(一2, 1)上单调时，a的取值范围是(一8, 3 U 2,+8), 故g(x)在( 2, 1)上不单调，实数a的取值范围是( 3, - 2木).玩转秘籍由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为 f (x)0(或f (x)W0)对xCD恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“=”是否取到.(
