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1、 北京市东城区高三3月质量调研数学（理）试题本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合Ax|，Bx|x 22x30，则A(RB)A(1，4) B(3，4) C(1，3) D(1，2)2已知i是虚数单位， 若则z=A12i B2i C2i D12i3设aR，则“a-2”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的A充分不必要
2、条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A. B. C. D.5设a，b是两个非零向量则下列命题为真命题的是A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得abD若存在实数，使得ab，则|ab|a|b|6某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为A. B. C. D. 7 已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点,若在点处的切线平行
3、于的一条渐近线，则A. B. C. D.8设a0，b0A若，则abB若，则abC若，则abD若，则ab非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9记等差数列的前n项和为，已知.则10如图，与圆相切于，不过圆心的割线与直径相交于点.已知=，,则圆的半径等于 11. 若函数有零点，则k的取值范围为_. 12已知圆的方程为,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_.13已知的展开式中没有常数项，且2 n 7，则n=_ 14设aR，若x0时均有(a1)x1( x 2ax1)0，则a_三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出
4、文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分13分) 设的内角所对的边长分别为，且（）求的值；（）求的最大值16(本小题满分13分)某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望. 17(本小题满分14分)在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成的角的正
5、弦值；（）求点到平面的距离. 18.（本小题满分14分）已知函数，其中若在x=1处取得极值，求a的值； 求的单调区间；（）若的最小值为1，求a的取值范围 .19(本小题满分14分)椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标20.（本题满分12分）在数列中，a1=2，b1=4，且成等差数列， 成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出的通项公式，并证明你的结论；（）证明：东城区20xx-第二学期教学检测高三数学答案（理
6、科） 一、选择题： 1B；2D；3A；4C； 5C；6C；7 D；8A（第8题的提示：若，必有构造函数：，则恒成立，故有函数在x0上单调递增，即ab成立其余选项用同样方法排除）二、填空题： 910； 107； 11. ； 12 . 20；135； 14（第14题的提示: 函数y1(a1)x1，y2x 2ax1都过定点P(0，-1)函数y1(a1)x1：过M(，0)，可得：a1；函数y2x 2ax1：显然过点M(，0)，得：，舍去，） 三、解答题： 15(本小题满分13分) （）在中，由正弦定理及可得即，则=4. -6分（）由()得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为. -13分 16(本小
7、题满分13分)（I）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人. -2分（II）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率 -5分（III）的可能取值为0，1，2，3,，, 0123P. -13分17(本小题满分14分)（）依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC。又因为P A平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD -5分方法一：（）由（1）知，又，则是的中点可得,，则设D到平面ACM的距离为，由 即，可求得，设所求角为，则. -10分 ()可求得PC=6, 因为ANNC，由，得PN,所以,故N点到平面ACM的距离等于P点到平面AC
8、M距离的.又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，zyx由（）可知所求距离为 . -14分方法二：（）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则.设所求角为，则. -10分 （）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为. -14分18.（本小题满分14分）（）在x=1处取得极值，解得 -4分（） 当时，在区间的单调增区间为当时，由 -10分（）当时，由（）知，当时，由（）知，在处取得最小值综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是 -14分19(本小题满分14分) ()由题：； (1)左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离为： (2)由(1) (2)可解得：所求椭圆C的方程为： -5分 (II)设，由得 ，.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，解得，且满足.当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为 -14分20.（本题满分12分）（）由条件得由此可得猜测4分用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立7分（）n2时，由（）知 故综上，原不等式成立 12分
