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1、第六节 夹逼定理无穷小的比较一. 夹逼定理定理1:如果数列、七及满足下列条件：(1) y x X时)满足条件：(1) g (x) f (x) h(x)。(2) limg(x) = A , limh(x) = A (或limg(x) = A , limh(x) = A )。xTaxTaxsxs则 lim f (x)存在，且lim f (x) = A (或lim f (x)存在，且lim f (x) = A )。xTaxTaxsxs注：(1)夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。(2)定理1中的条件(1)改为：yn xn zn,(n = 1,2,3,)，结论仍然成立。例1：求下列极限
2、(1) lim 1 +1(2) lim( . 1+ . 1+. +1)nT I，nnr ；n 2 +1 n 2 + 2、； n 2 + n二. 两个重要极限(1) lim丑=1。xT0 x例2：求下列极限tan x(1) limx T0 x例3：求下列极限(2) lim(1 + )x = e，( lim(1 + x)x = e，xT8xx T0(2)tan x - sin x limxT0x3(3)(1)lim(1 - 2)2 xxT8x(2) lim(x) x - 2xr2 2lim(1 + L) n = e )。nT8ncos x - cos3xlimxT0x2,、 x + 5(3) li
3、m()xx5xs 人 U三. 无穷小的比较：在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。那末两个无穷小的商的情况又如何呢？为此讨论下列极限。尽管x,x2,Sinx,1 - Cosx,3x,都是x T 0时的无穷小量，但是它们趋向于零的快慢程度不一样。设a (x)，P(x)是当x T %时的两个无穷小量，由极限的 运算法则知：a(x) + P(x)，a(x) - P(x)，a(x) - P(x)都是当x t x时的无穷小量。但以(x) / P(x)当x x0时是否是无穷小量呢？以(x) = x, p (x) = x2, y (x) = sin x , 5 (x) =
4、1 - cos x 当 x T 0 时都是无穷小量，lim。(x) = 0 , lim (x) = 1, x0 以(x)xT0 以(x).5 (x)1以(x)lim = , lim = 8。x T0 P (x)2 xT0 p (x)1.定义：设 lima = 0 , lim P = 0,(1) 如果lim P = 0，就说P是比a高阶的无穷小，记作P=o(a)；a(2) 如果limP = 8，就说p是比a低阶的无穷小；a(3) 如果limP = c卫0，就说P是与a同阶的无穷小；a(4) 如果limP = 1，就说P与a是等价无穷小，记作aP。a2. 等价无穷小的重要性质定理 3：设a a/
5、, P P /，且limEl存在，则lim = lim史。 a /a a /推论(1)： 设a a/ , P P / ,且lim (x)P存在，则lim f (x)P 存在，且lim f (x)P = lim f (x)P。 g (x)a /g (x)ag (x)a g (x)a /注：在计算极限的过程中，可将分子或分母的的乘积因子换为与其等价的无穷小，这种替换有时可简化 计算，但注意在加、减运算中不能用。例4：求下列极限(1) lim tanx- sinx(2)jm+ tanx - J1 一 tanxxt0 x2 tan xxt0心 一 1例5：当x T 0时，试比较下列无穷小的阶(1) a = x3 + 2x2P = x2(2) a = x2 cosx P = x23. 常用的等价无穷小替换x T 0 : sin x x， tan x x， arcsin x x， arctanx x， ln(1 + x) x， ex -1 x ；x21 - cos x 2
