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1、2000年真题1（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P上的一元多项式，并且满足： （1） （2）证明：能整除。2（14分）设A是nr的矩阵，并且秩（A）= r，B，C是rm矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。3（15分）求矩阵的最大的特征值，并且求A的属于的特征子空间的一组基。(14分)设(14分)设A,B都是实数域R上的矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明：(14分)设A是实对称矩阵,证明：是一个正定矩阵证明：A是实对称矩阵，则的特征值均为实数(15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设但是证明：是的一组基并且
2、求线性变换在此基下的矩阵，以及的核的维数2000年真题答案1、证明： （3）将（3）带入（1）中，得到：注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。2、证明：，即方程3、解：，当时，求出线性无关的特征向量为，则是的特征子空间的一组基4、解：不妨设则矩阵对应的特征值为：故5、利用构造法，设，令，两边取行列式得（），两边取行列式得（）由（），（）两式得（）上述等式是假设了，但是（）式两边均为的n次多项式，有无穷多个值使它们成立（），从而一定是恒等式注：此题可扩展为是矩阵，是矩阵，的特征多项式有如下关系：，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式6、设为的任意特征
3、值，则的特征值为故是一个正定矩阵7、证明：令（）用左乘（）式两边，得到由于，带入（）得（）再用左乘（）式两端，可得这样继续下去，可得到线性无关在此基下的矩阵为，可见,即A的核的维数为12001年真题2002年真题1（15分）设，都是矩阵。解矩阵方程。2（20分）设，是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵，使得是一个对角矩阵。3（10分）设都是非负整数。设。证明：整除。4（10分）设，都是矩阵，是矩阵，并且的秩是。证明：如果，则。5（10分）设是矩阵，并且是可逆的。证明：如果与的所有的元素都是整数，则的行列式是或。6（10分）设是反对称矩阵，证明：是半正定的。7（15分）设是矩阵。如
4、果，并且的秩是，是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。8（10分）设是有理数域上的线性空间，的维数是，与是的线性变换。其中可对角化，并且。证明：存在正整数，使得是零变换。2003年真题2004年真题2004年真题答案2005年真题1、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否合同?是否相似?为什么?2、（20分）设A=。v是的A最大的特征值。求A的属于v的特征子空间的基。3、（20分）设f（x）是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f（m）和f（n）都是奇数，则f（x）没有整数根。4、（20分
5、）设A是一个2n2n的矩阵。证明：如果对于任意的2n2矩阵B，矩阵方程AX=B都有解，则A是可逆的。5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。6、（20分）设A，B是nn实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。证明下列结论等价：（1）AB=O,O为零矩阵（2）秩(A)+秩(B)=n7、（20分）设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。证明：（1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不变子空间。（2）存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。8、（10分
6、）设A，B，C分别是mm,nn,mn矩阵（mn）,且AC=CB,C的秩为r.证明: A和B至少有r个相同的特征值。注意：7题中V(k)在原题中k为V的下标。2006年真题一，用正交线性替换将实三元二次型变成标准形，并写出所用的非退化线性变换。二、设。A是否相似于一个对角阵？如果相似，则求出可逆矩阵C，使得为对角阵，且写出此对角阵。三、设是一个整系数多项式，证明：如果是一个奇数，则不能被x-1整除，也不能被x+1整除。四、 设A是一个矩阵，证明：如果A的秩等于的秩，则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组X=0同解。五、 设V是有理数域Q上的线性空间，id是V的恒等变换。又设是V的一个线性变换，
7、证明：如果，则没有特征值。六、 设 A是实对称矩阵，b是A的最大的特征值。证明：对任意n维非零的实列向量，都有。七、 设V=是F上全体次数5的多项式及零多项式构成的线性空间。，定义映射，其中，=0或a) 证明映射是V的一个线性变换。b) 求在基1，x, ,下的矩阵。8设A,B都是矩阵，并且AB=BA。证明：如果A,B都相似于对角矩阵，则A+B也相似于对角矩阵。2007年真题一，化二次型为标准型,并给出所用的非退化线性替换.二，求三阶矩阵的Jordan标准型.三，设且长度为2,矩阵求的特征多项式.四，设是阶反对称矩阵,为单位矩阵.证明： 可逆设, 求证是正交阵.五，设是3阶对称矩阵,且的各行元素
8、之和都是3,向量是的解,求矩阵的特征值,特征向量,求正交阵和矩阵使得六，设是一个数域,是中次数大于0的多项式,证明：如果对于任意的,若有,那么是不可约多项式.七，设欧氏空间中有证明：如果,那么八，设是维欧氏空间中的一个对称变换,则2007年真题答案1. 解 所给二次型的矩阵为其特征多项式为.故特征值为.,解对应的特征方程得,.,解对应的特征方程得.以作为列向量作成矩阵.则可逆,且为对角阵.这时做非退化线性替换得.2. 解 ,将其对角化为.故的若当标准形为.3. 解 的特征多项式为 .4. 证 是反对称实矩阵,故其特征值为零或纯虚数.其实,假定是的特征值,是相应的特征向量.则,又,故,这说明是零
9、或纯虚数.由此得,因而可逆. 由知可逆,这说明有意义.而,因此 .故是正交矩阵. 5. 解 依题意有因而其特征多项式为.故特征值为.,解特征方程得,.特征向量为.,解特征方程得.特征向量为.以上.把向量正交并单位化得,.把向量单位化得.以作为列向量作成矩阵,则为正交矩阵且. ,则满足.6. 证 假设可约,不妨设,其中.这时显然有,但不可能有或者.这与题设矛盾,故假设错误.因而不可约. 7. 证 依题显然有,假设,则.于是 ,这说明可被线性表出.记给上式两边同时计算得,于是,与题设矛盾,故假设错误, 原命题成立. 8. 证 对于任意的及任意的,有，于是有,因而.又,于是,故.2008年真题2009年真题2010年真题回忆版1. 求非负m,n,k, s.t. 整除.(本题中可能为).2. 已知,求A的不变因子,行列式因子及Jordan标准型.3. A,B,C为n阶矩阵,A,B可逆,求的逆.4. A为mn阶矩阵,AX=b有解Ay=0则by=0.5. .6. A,B正定,AB=BA,则(1)存在正交阵P, s.t. PAP, PBP 为对角阵.(2)AB正交.7. J,X均为nn实矩阵,J的每个元素都为1,X=XJ+JX,求证只有零解X=0.
