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1、 空间几何体的结构，三视图直观图、外表积与体积1.几种常凸多面体间的关系2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和
2、截面之间的局部由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点
3、平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分31正视图：物体前前方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；2侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；3俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三视图画法规那么高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等空间几何体的直观图1斜二测画法建立直角坐标系，在水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上
4、平面上画出对应的OX,OY,使=450或1350，它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴与为画图添加的辅助线虚线。2平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，投影线不垂直于投影面产生的投影叫做斜投影。物体投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。三视图指正投影3射影：所谓射影，就是正投影其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直
5、线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影题型1.空间几何体的结构例题1正方体ABCD的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为cA2B3 C. 4 D. 5【答案】：C【解析】解析如图示，那么BC中点，点，点，A1D1的中点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，应选C项变式练习：到两互相垂直的异面直线的距离相等的点A只有1个 B恰有3个C恰有4个 D有无穷多个【答案】 D【解析】放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、C
6、D的距离相等、所以排除A、B、C，选D例2两一样的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，那么这样的几何体体积的可能值有 A1个B2个 C3个D无穷多个解析：由于两个正四棱锥一样，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的接正方形有多少种，所以选D。题型2：斜二测画法例3是正ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，假设的面积为，那么ABC的面积为_。解析：。点评：该题
7、属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。练习：一梯形的直观图是一个如下图的等腰梯形，且该梯形面积为，那么原梯形的面积为()A2 B.C2D4解析：设直观图中梯形的上底为x，下底为y，高为h.那么原梯形的上底为x，下底为y，高为2h，故原梯形的面积为4，选D.题型3：平行投影与中心投影例41如图，在正四面体ABCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，那么EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 A B C D练习一正方体接于一个球，经过球心作一个截面，那么截面的可能图形为_(只填写序号)解析：当截面与正方体的
8、某一面平行时，可得，将截面旋转可得，继续旋转，过正方体两顶点时可得，即正方体的对角面，不可能得.答案：题型4：三视图例题5、如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，那么这个多面体最长的一条棱的长为_.【答案】【命题立意】此题考察了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考察了同学们的识图能力以与由三视图复原物体的能力。【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为练习一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,那么得到正视图可以为 ABCD【答案】A多面体的
9、面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长lS侧+2S底S底h=S直截面l直棱柱chS底h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台 (c+c)hS表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1
10、、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。例题1.假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是BA2B1CD【答案】 B解析：此题考察立体图形三视图与体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为例题2是球外表上的点，那么球的外表积等于A4 B3 C2 D例题3、如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，假设EF=1，E=x，DQ=y，D，大于零，那么四面体PE的体积与，都有关与有关，与，无关与有关，与，无关与有关，与，无关【答案】D练习、某几何体的三视图(单位:cm)如下图,那么该几何体的体积是【答案】BA108cm3B100 cm3C
11、92cm3D84cm3作业练习1、图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，那么h= cm【答案】4 2、一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为3、如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EFAB，EF=2，那么该多面体的体积为( )A. B.C. D.4、某三棱锥的三视图如下图，该三梭锥的外表积是A. 28+6B. 30+6C. 56+ 12D. 60+12【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如下图，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。此题所求外表积应为三
12、棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体外表积，应选B。5、一个几何体的三视图形状都一样，大小均相等，那么这个几何体不可以是 A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱考点：空间几何体的三视图。难度：易。分析：此题考察的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。解答：圆的正视图主视图、侧视图左视图和俯视图均为圆；三棱锥的正视图主视图、侧视图左视图和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图主视图、侧视图左视图和俯视图均为正方形；圆柱的正视图主视图、侧视图左视图为矩形，俯视图为圆。6、某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，那么该几何体的俯视图不可能是【答案】D7如图，在长方体中，那么四棱锥的体积为 cm3【解析】长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm它也是中上的高四棱锥的体积为。8、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，那么三棱锥D1-EDF的体积为_。解析：.9、假设一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，那么该圆锥的体积为.【答案】【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为，母线长为，根据条件得到，解得母线长，所以该圆锥的体积为：. /
