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1、高中必修一一些重点函数值域求法十一种2复合函数9一、复合函数的概念9二、求复合函数的定义域：9复合函数单调性相关定理10函数奇偶性的判定方法10指数函数：12幂函数的图像与性质15函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。解：显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。解：故函数的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，8 3. 判别式法 例4. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当时，解得：
2、（2）当y=1时，而故函数的值域为 例5. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。解：由原函数式可得：则其反
3、函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。解：由原函数式可得：解得：故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即即解得：故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。解：令则在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为： 例10. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为 7.
4、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。解：令，则又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为 例12. 求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为 例13. 求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域。解：令，则由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为： 8. 数形结合法其题型是函数解析式具
5、有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴
6、上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），在x轴的同侧。 9. 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且
7、仅当即当时，等号成立故原函数的值域为： 例20. 求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为： 10. 一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为 11. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例23. 求函数的值域。解：令，则当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用
8、的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。复合函数一、复合函数的概念如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f g ( x ) 叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在
9、条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a x b,则f g ( x ) 中的a g ( x ) b ，从中解得x的范围，即为f g ( x )的定义域。 例1、y = f ( x ) 的定义域为 0 ， 1 ，求f (
10、2x + 1 )的定义域。 答案： -1/2 ，0 例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。 答案： -1 ，1（2）若f g ( x ) 的定义域为（m , n）则由m x n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。 答案： 1 ，3 （3）由f g ( x ) 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f h ( x ) 的定义域。例4、已知f ( x + 1 )的定义域为-2 ，3,求f ( 2x 2 2 ) 的定义域。 答案：-3/2 ，-33/2
11、 ，3三、求复合函数的解析式。1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1 设是一次函数，且，求解：设 ，则 2、 配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式解：， 3、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3 已知，求解：令，则， 复合函数单调性相关定理1、引理1 已知函数y=fg(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)
12、上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数证 明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使ax1x2b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.2、引理2 已知函数y=fg(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=fg(x)在区
13、间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使ax1x2b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.3、总结同增异减函数奇偶性的判定方法1定义域判定法例1判定的奇偶性（非奇非偶）2定义判定法f(x)与f（-x）关系例2判断的奇偶性（偶）3等价形式判定法例3判定的奇偶性（奇）评注：常用等价变形形式有：若或，则为奇函数；若或，则为偶函数（其中）4性质判定法例4若，是奇函数，是偶函数，试判定的奇偶性评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：两个偶函数的和、差、积都是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数5、练习（1）.()函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ (,1（2）()若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (
