《R语言在时间序列中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《R语言在时间序列中的应用（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、时间序列分析在人口预测问题中的应用摘要时间序列分析是研究动态数据的动态结构和发展变化规律的统 计方法。以 1949 年至 2004 年中国大陆人口自然增长率为例, 用时 间序列分析和统计学软件 R 建立模型, 并对人口进行预测, 取得较 好的效果。说明时间序列分析在人口预测问题上是有效的。关键词: ARMA 模型; R 软件; 平稳性; 可逆性Application of time series analysis in populationpredictionAbstractTime series analysis is a statistic method studying dynamic
2、structure of dynamic data and the law of de-velopment and change. Based on the example of population growth rate between 1949 and 2004 in the mainlandof China, mathematic models were established with time series analysis method and statistic software R,and population was predicted with it. It receiv
3、ed a good result. Therefore the applicationT T T of time series analysisis effective in population prediction.Key words: ARMA model; R software; stability; invertibility一时间序列概述1. 概念所谓时间序列就是按照时间的顺序记录的一列有序数据。对时间序列进行观 察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析时间序 列分析有着非常广泛的应用领域。2. 定义在统计研究中，常用按时间序列排列的一组随机变量 XX X
4、,X , X , ,X ,1 2 t来表示一个随机事件的时间序列，简记为X ,t e T或X 。tt3. 主要分析方法 时间序列分析方法主要有描述性时序分析和统计时序分析。描述性时序分析主要通过直观数据比较或绘图测绘，统计时序分析主要有频域分 析方法以及时域分析方法。常用的是时域分析法，时域分析法的基本思想是源于 事件的发展通常具有一定的惯性，这种惯性用统计语言来描述就是序列值之间存 在一定的相关关系，而这种关系具有某种统计规律。我们分析的重点就是找寻这 种规律，选取合适的数学模型拟合，进而预测该事件发展走向。4. 研究意义事件序列分析具有现实意义，在金融经济、气象水文、信号处理、机械振动 等
5、众多领域具有广泛的应用。二时间序列的预处理通常得到一个观察值序列后首先要对其进行平稳性以及纯随机性进行检验。根据检验结果的不同我们有不同的处理方法1. 平稳性时间序列的平稳性分为严平稳与宽平稳(1) 严平稳定义设X 一时间序列。对任意整数m，任取-，12,，t e T，对任意整数t ,t1 2 m有F(x ,x，,x )二F(x ,x，,x )，则称序列X 为严稳序列。t ,t，,t 1 2mt +t ,t +t，,t +t 1 2mt1 2 m12 m其中 F 为分布函数。(2) 宽平稳定义如果X 满足：任取t e T，有EX2 g ；tt 任取t e T，有EX二卩,卩为常数；t 任取 t
6、, s, k e T，且 k +1 - s e T，有 y (t, s) = Y (k, k + s -1)；则称X 为宽平稳序列。其中y (t,s)表示X与X的自相关系数。tt s(3) 平稳性的检验平稳性检验主要有时序图检验以及自相关图检验。2. 纯随机性(1)纯随机性定义如果时间序列 X 满足以下性质：t 任取t e T，有EX二卩，卩为常数；t 任取t, s e T,有/ 、b2, t = sY (t, s)二仁0, t 丰 s则称序列为纯随机序列，也称为白噪声(white noise)序列。(2) 纯随机性检验构造检验统计量，主要是Q统计量以及LB统计量。三时间序列分析的主要方法及模
7、型1. 平稳时间序列分析的模型 AR 模型(auto regression model)具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，记为AR(p)：x = +x + x + t01 t-1p t 一 pt丰0V pE( ) = 0,Var( ) = b2, E( ) = 0,s 丰 ttt t sEx = 0, Vs tst MA 模型(moving average)具有如下结构的模型称为 q 阶移动平均模型，记为 MA(q)：厂X =卩 + 0 0 0 tt 1 t1 2 t2q tq0丰0qE( )二 0, Var( ) = g2, E( )二 0,s 主 ttt t s(3)ARMA 模型(a
8、uto regression moving average)具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，记为 ARMA(p,q)：x = + x + +e X + 0 0 t 0 1 t1p tpt 1 t1q tq丰0,0丰0 pqE( ) = 0,Var( ) = c2,E( ) = 0,s 丰 ttt t sEx = 0, Vs tst若 = 0，该模型称为中心化ARMA(p,q)模型。02. 非平稳序列分析 事实上在自然界中绝大部分序列都是非平稳的，因而对非平稳序列的分析更 普遍更重要。对非平稳时间序列的分析法通常分为确定性时序分析和随机时序分析。这里 简要介绍常用确定性时序分析方法。(
9、1) 趋势分析 有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目的就是要找到序列中的这 种趋势，并利用这种趋势对序列对序列的发展做出合理的预测。(2) 季节效应分析 在日常生活中我们可以看到许多有季节效应的时间序列，如四季气温等等。凡是呈现出固定的周期性变化的时间，我们都称其有季节效应。(3) 综合分析 既有趋势起伏变动又有季节效应的复杂序列的分析方法，常用模型有： 加法模型x =T +S + It t t t 乘积模型x = T - S -1t t t t 混合模型a. x 二 T - S +1t t t tb. x 二 T - (S +1)t t t t式中，T代表序列的长期趋势波动；S代表序
10、列的季节性(周期性)变化；I代t t t表随机波动。3. 非平稳序列的模型 事实上，许多非平稳序列差分后会显示出平稳序列的性质，称之为差分平稳 序列。对差分平稳序列可以用ARIMA模型拟合。具有如下结构的模型称为求和自回归移动平均 (autoregressive integrated moving average)模型，简记为 ARIMA(p,d,q)模型：(B)Vdx 二 0(B)stt E(s )二 0, Var(s ) = g2, E(s )二 0,s 丰 tttSt sE(x s )二 0, Vs tst式中：Vd二(1-B)d ；(B) = 1-Q B -Bp，为平稳可逆ARMA(p
11、,q)模型的自回归系1p数多项式；0(B) = 1 -9 B9 Bq，为平稳可逆ARMA(p,q)模型的移动平滑系1q数多项式； s 为零均值白噪声序列。t由上式可知ARIMA模型的实质就是差分运算与ARMA模型的组合。当序列具有非常显著的确定性趋势或季节效应时，人们会怀念确定性因素分解方 法对各种确定性效应的解释，但又因为它对残差信息的浪费而不敢轻易使用。为 了解决这个问题人们构造了残差自回归(auto-regressive)模型。Auto-Regressive 模型的构造思想是首先通过确定性因素分解方法提取序列中主 要的确定性信息：x = T + S + stttt式中，T为趋势效应拟合，
12、S为季节效应拟合。tt考虑到因素分解方法对确定性信息的提取可能不够充分，因而需要进一步检验残差序列s 的相关性。如果检验结果显示残差序列自相关性不显著，说明确t定性回归模型对信息提取比较充分，可以停止分析。如果检验结果显示残差序列自相关性显著，这时可以考虑对残差拟合自回归模型，进一步提取相关信息： =+ + + ati t-ip t - pt这样构造的模型：厂x = T + S + ttt t 1 ttt t-i称为残差自回归模型。四实例本文以中国大陆人口自然增长率(19492004 年)为样本进行分析,数据(数 据来自2005 年统计年鉴)见表 1。表1 中国大陆人口自然增长率年份人口自然增
13、长率%1940161950192020232420.3220.523.2317.2410.19I960-4.743.7826.9933.3327.6428.3826.2225.5327.3826.08197025.8323.3322.1620.8917.4815.6912.6612.061211.61198011.8714.5515.6813.2913.0814.2615.5716.6115.7315.04199014.3912.9811.611.4511.2110.510.4210.069.148.1820007.586.956.456.015.87第一步：原数据的平稳性检验 为判断一个序列是否平稳，我们主要通过时序图以及自相关图进行检验。因 为用到 ARIMA 模型的拟合和检验，所以在程序的开头会载入 tseries。 首先绘出时序图、自相关图、偏自相关图（如下）：11V03 02 O1 oEUAV104 60 20 20010 20 30 40 50Time051015LagSeries pr80 40 oo 40-一 CA ra-图 1 原数据的时序图、自相关图、偏自相关图通过观察时序图，序列有递减趋势，所以我们基本可以判断该序列非平稳第二步：差分并检验新序列的平稳性，完成序列的定阶V1or o OT-1vSeries e20 oo 40-CK
