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1、现代控制理论实验六学生XX：_专业_院系： / 实验6状态观测器的计算机辅助设计一：原理1. 开环状态观测器设线性定常连续系统的状态空间模型为,即为利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学性质的如下系统来重构被控系统的状态变量:其中为被控系统状态变量x的估计值。状态估计系统称为开环状态观测器,记为结构如下图所示。比较系统和的状态变量,有则状态估计误差的解为显然,当 时,则有 ,即估计值与真实值完全相等。但是,一般情况下是很难做到这一点的。这是因为:1有些被控系统难以得到初始状态变量x,即不能保证;2若矩阵A的某特征值位于s平面的虚轴或右半开平面上=0,则矩阵指数函数eAt中包含有不随时间t
2、趋于无穷而趋于零的元素。2. 渐近状态观测器前面讨论的开环状态观测器未利用被控系统的可直接测量得到的输出变量来对状态估计值进行修正,所得到的估计值不佳,其估计误差将会因为矩阵A具有在s平面右半闭平面的特征值,导致不趋于零而趋于无穷或产生等幅振荡。可以预见,若利用输出变量对状态估计值进行修正,即反馈校正,则状态估计效果将有本质性的改善。下面将讨论该类状态观测器系统的特性及设计方法。如果对任意矩阵A的情况都能设计出相应的状态观测器,对于任意的被控系统的初始状态都能满足下列条件:即状态估计值可以渐近逼近被估计系统的状态,则称该状态估计器为渐近状态观测器。根据上述利用输出变量对状态估计值进行修正的思想
3、和状态估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件,可得如下状态观测器:其中G称为状态观测器的反馈矩阵。该状态估计器称为全维状态观测器,简称为状态观测器,其结构如下图所示。下面分析状态估计误差是否能趋于零。先定义如下状态估计误差:则有其中A-GC称为状态观测器的系统矩阵。根据上述误差方程,被控系统的渐近状态观测器,亦可简记为 。上述误差方程的解为显然,当状态观测器的系统矩阵A-GC的所有特征值位于s平面的左半开平面,即具有负实部,则无论等于否,状态估计误差将随时间t趋于无穷而衰减至零,观测器为渐近稳定的。因此,状态观测器的设计问题归结为求反馈矩阵G,使A-GC的所有特征值具有负实部及所期望的衰减速度
4、,即状态观测器的极点是否可任意配置问题。对此有如下定理。定理 渐近状态观测器的极点可以任意配置,即通过矩阵G任意配置A-GC的特征值的充要条件为矩阵对能观。3降维状态观测器及其设计方法用上述方法设计的状态观测器是n阶的,即n维状态变量全部由观测器获得,所以该观测器又可称为全维状态观测器。由输出方程可知,其实状态变量的部分信息可直接由输出变量的测量值提供,如在特殊形式的输出方程中,状态变量向量x2即为输出变量y,故该系统只要仅对x1设计状态观测器即可,对x2就没有必要再设计状态观测器。此,所设计的状态观测器的维数就少于状态变量的维数n。该类状态观测器称为降维状态观测器。由线性代数知识可知,任何输
5、出方程,只要输出矩阵C满秩,总可以找到非奇异的线性变换将输出方程变换成所示的输出方程。变换方法介绍如下:首先,对任何输出矩阵为满秩矩阵的状态空间模型,经过对状态变量的重新排列顺序,都可变换成如下形式的状态空间模型当选取变换矩阵P为则在状态变换下状态空间模型可变为:对状态空间模型,状态变量即为输出变量,因此只需对状态变量设计降维状态观测器即可。在求得状态变量的状态估计值后,作上述线性变换的逆变换,则可求得原状态变量的估计值。经上述变换后,状态变量所满足的状态方程为降维状态观测器的结构图如所示：由线性系统的输出方程和降维状态观测器,我们可得状态变量向量的如下估计值则原系统的状态变量向量的估计值为于
6、是所设计的原系统的降维状态观测器为二：程序及结果极点配置部分希望的闭环极点是,希望的观测器极点是a对于全维测器,和；b对于降维观测器,。比较系统对下列指定初始条件的响应：a对于全维观测器：b对于降维观测器：1、全维观测器：1) 计算全维观测器的增益矩阵L由图6.3所示的调节器系统1/s*s+2得,执行以下的M-文件：a=0 1;0 -2;b=0;1;c=4 0;v=-8 -8;l=acker计算得出,全维观测器的增益矩阵L=3.5;9.0相应的全维观测器是：=x+u+y2) 计算全维观测器的状态反馈矩阵K及其状态响应 A=0 1;0 -2;B=0;1;J=-2+j*2*sqrt -2-j*2*
7、sqrt;K=place;sys=ssA+B*K,eye,eye,eye;t=0:0.01:20;x=initial;x1=1 0*x;x2=0 1*x;subplot;plot;gridxlabelt;ylabel;subplot;plot;gridxlabelt;ylabel;得到状态反馈后的状态变量的状态响应曲线：2、降维观测器1) 计算降维观测器的增益矩阵L执行以下的M-文件：Aaa=0;Aab=1;Aba=0;Abb=-2;Ba=0;Bb=1;v=-8;l=ackerAhat=Abb-l*AabBhat=Ahat*l+Aba-l*AaaFhat=Bb-l*Ba计算得出,降维观测器的增益矩阵L=6相应的降维观测器是： =-8w+-48y+1u2计算全维观测器的状态反馈矩阵K及其状态响应Ahat=-8;Bhat=-48;Fhat=1;K=-2;sys=ssAhat-Fhat*K,eye,eye,eye;t=0:0.01:20;w=initial;plot;xlabelt;ylabel;得到状态响应曲线如下图所示：
