2007年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1) 当时，与等价的无穷小量是：（ ）(A) (B) (C) (D) .(2) 设函数在处连续，则下列命题错误的是：（ ）(A) 若存在，则 (B) 若存在，则.(C) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在.(3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（ ）(A) (B) (C) (D)(4) 设函数连续，则二次积分等于：（ ）(A) (B) (C) (D)(5) 设某商品的需求函数为，其中分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于，则商品的价格是：（ ）(A) (B) (C) (D) (6) 曲线渐近线的条数为：（ ）(A) (B) (C) (D) (7) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是：（ ）(A) (B) (C) (D) (8) 设矩阵，，则与：（ ）(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第次命中目标的概率为：（ ）(A) (B) (C) (D) (10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为：（ ）(A) (B) (C) (D) .二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．(11) _________.(12) 设函数，则_________.(13) 设是二元可微函数，则_________.(14) 微分方程满足的特解为=_________.(15) 设矩阵则的秩为_________.(16) 在区间中随机地取两个数，则这两数之差的绝对值小于的概率为_________.三、解答题：17～24小题，共86分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17) (本题满分10分)设函数由方程确定，试判断曲线在点附近的凹凸性.(18) (本题满分11分)设二元函数计算二重积分，其中.(19) (本题满分11分)设函数在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值，又，＝，证明：(I) 存在使得；(II) 存在使得(20) (本题满分10分)将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.(21) (本题满分11分)设线性方程组 ①与方程 ②有公共解，求的值及所有公共解.(22) (本题满分11分)设阶实对称矩阵的特征值是的属于的一个特征向量.记，其中为阶单位矩阵.(I) 验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵.(23) (本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为(I) 求；(II)求的概率密度.(24) (本题满分11分)设总体的概率密度为，其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.(I) 求参数的矩估计量；(II) 判断是否为的无偏估计量，并说明理由.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) _________.(2) 设函数在的某邻域内可导，且，则_________.(3) 设函数可微，且，则在点处的全微分_________.(4) 设矩阵 ，为阶单位矩阵，矩阵满足，则_________.(5) 设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_______.(6) 设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差，则=_________.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则：（ ）(A) (B) (C) (D) (8) 设函数在处连续，且，则：（ ）(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D) 存在(9) 若级数收敛，则级数：（ ）(A) 收敛 (B) 收敛(C) 收敛 (D) 收敛(10) 设非齐次线性微分方程有两个的解为任意常数，则该方程的通解是：(A) (B) (C) (D) (11) 设均为可微函数，且已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是：（ ）(A) 若 (B) 若(C) 若 (D) 若(12) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是：（ ）(A) 若线性相关，则线性相关(B) 若线性相关，则线性无关(C) 若线性无关，则线性相关(D) 若线性无关，则线性无关(13) 设为阶矩阵，将的第行加到第行得，再将的第列的倍加到第列得，记，则：（ ）(A) (B) (C) (D) .(14) 设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且，则必有：（ ）(A) (B) (C) (D) 三、解答题：15~23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分7分)设，求(I) ；(II) .(16) (本题满分7分)计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.(17) (本题满分10分)证明：当时，.(18) (本题满分8分)在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于.(I) 求的方程；(II) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.(19) (本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数.(20) (本题满分13分)设维向量组，，，，问为何值时线性相关?当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21) (本题满分13分)设阶实对称矩阵的各行元素之和均为，向量是线性方程组的两个解.(I) 求的特征值与特征向量；(II) 求正交矩阵和对角矩阵，使得；(III) 求及，其中为阶单位矩阵.(22) (本题满分13分)设随机变量的概率密度为令，为二维随机变量的分布函数.求：(I) 的概率密度；(II) ；(III) .(23) (本题满分13分)设总体的概率密度为其中是未知参数（），为来自总体的简单随机样本.记为样本值中小于的个数，求：(I) 的矩估计；(II) 的最大似然估计.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限=_________.(2) 微分方程满足初始条件的特解为_________.(3) 设二元函数，则_________.(4) 设行向量组，，，线性相关，且，则_________.(5) 从数中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则=_______.(6) 设二维随机变量的概率分布为若随机事件与相互独立，则=_________，=_________.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 当取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点：（ ）(A) . (B) (C) (D) .(8) 设，，，其中，则：（ ）(A) (B) . (C) (D) .(9) 设若发散，收敛，则下列结论正确的是：（ ）(A) 收敛，发散 (B)收敛，发散(C) 收敛 (D) 收敛(10) 设，下列命题中正确的是：（ ）(A) 是极大值，是极小值(B) 是极小值，是极大值(C) 是极大值，也是极大值(D) 是极小值，也是极小值.(11) 以下四个命题中，正确的是：（ ）(A) 若在内连续，则在内有界(B) 若在内连续，则在内有界(C) 若在内有界，则在内有界(D) 若在内有界，则在内有界(12) 设矩阵=满足，其中是的伴随矩阵，为的转置矩阵.若为三个相等的正数，则为：（ ）(A) (B) (C) (D) (13) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是：（ ）(A) (B) (C) (D) (14) 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知.现从中随机抽取个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为的置信区间是：（ ）(A) (B) (C) (D) （注：大纲已不要求）三 、解答题：本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分8分)求.(16) (本题满分8分)设具有二阶连续导数，且，求.(17) (本题满分9分)计算二重积分，其中.(18) (本题满分9分)求幂级数在区间内的和函数.(19) (本题满分8分)设在上的导数连续，且，，.证明：对任何，有.(20) (本题满分13分)已知齐次线性方程组(I) 和 (II) 同解，求的值.(21) (本题满分13分)设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵，为矩阵.(I) 计算，其中；(II) 利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.(22) (本题满分13分)设二维随机变量的概率密度为 求：(I) 的边缘概率密度;(II) 的概率密度;(Ⅲ) .(23) (本题满分13分)。
