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1、2.2 平方根第 1 课时 算术平方根第一环节:问题情境方法一:问题导入内容:上节课学习了无理数,了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性,掌握了无理数的概念,知道有理数和无理数的区别是:有理数是有限小数或无限1循环小数,无理数是无限不循环小数比如上一节课我 们做过的:由两个边长为 1 的小正方形,通过剪一剪, 拼一拼,得到一个边长为 a 的大的正方形,那么有a2 = 2 , a =, 2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过若x2 = a ,则a叫x的平方,反过来x叫a 的什么呢?本节课我们一起来学习.方法二:问题导入 内容:前面我们学习了勾股定理,请大家根据勾股定理,结 合图形完成填空:x
2、 2 =, y 2 =, z2 =,w 2 =.目的:方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习,让学生体会到学习算 术平方根的必要性效果:能表示x2 = 2, y 2 = 3, z2 = 4, w2 = 5 ;能求得z = 2,但不能求得x, y , w 的值.说明:方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子,起到了承前 启后的作用,方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用,说明 学习这节课的必要性.相对而言,建议选用方法二.第二环节:初步探究内容 1:情境引出新概念x2二2 , y2二3 , z2 = 4 , w2二5,已知幂和指数,求底数x,你能求出来 吗?目的:让学生体
3、验概念形成过程,感受到概念引入的必要性效果:学生可以估算出x , y是1到2之间的数,w是2到3之间的数,但 无法表示X,y,w,从而激发学生继续往下学习的兴趣,进而引入新的运算一 开方说明:无论是用方法一引入,还是方法二引入,都是激发学生继续往下学习 的兴趣,都可以提出同样的问题“已知幂和指数,求底数X,你能求出来吗?”内容 2:在上面思考的基础上,明晰概念:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2 = a,那么这个正数X就叫做a 的算术平方根,记为“J: ”,读作“根号a ”.特别地,我们规定0的算术平方 根是0,即卞0 = 0 目的:对算术平方根概念的认识效果:了解算术平方根的概念,知
4、道平方运算和求正数的算术平方根是互逆 的内容 3:简单运用 巩固概念例 1 求下列各数的算术平方根:49(1) 900; (2) 1;(3); 14.64目的:体验求一个正数的算术平方根的过程,利用平方运算求一个正数的算 术平方根的方法,让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来,有的正数的算 术平方根只能用根号表示,如14的算术平方根是v14 效果:会求一个正数的算术平方根,更进一步了解算术平方根的性质:一个 正数的算术平方根是正数, 0 的算术平方根是 0,负数没有算术平方根答案:解:因为302二900,所以900的算术平方根是30,即v900二30;(2)因为12 = 1,所以1的算术平方
5、根是1,即J二1 ;即需-7因为(7)2 = 64,所以6|的算术平方根是7,(4)14的算术平方根是*1?.内容4:回解课堂引入问题x2 - 2 , y2 - 3 , w2 - 5,那么 x 弋2 , y - 3 , w - 5 .第三环节:深入探究内容1:例2自由下落物体的高度h (米)与下落时间t(秒) 的关系为h 4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落, 到达地面需要多长时间?目的:用算术平方根的知识解决实际问题效果:学生多能利用等式的性质将h 4.9t2进行变形,再 用求算术平方根的方法求得题目的解解:将h 19.6代入公式h 4.9t2,得12 4,所以正数t -刁-
6、2(秒).即铁球到达地面需要 2 秒.说明:强调实际问题t是正数,用的是算术平方根,此题是为得出下面的结论作铺垫的.内容2:观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.目的:让学生认识到算术平方根定义中的两层含义:中的a是一个非负 数,a的算术平方根也是一个非负数,负数没有算术平方根.这也是算术平 方根的性质双重非负性.效果:再一次深入地认识算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方 根第四环节:反馈练习一、填空题:1. 若一个数的算术平方根是7,那么这个数是2. 厉的算术平方根是;3. (3)2的算术平方根是;4 .若 : m + 2 = 2,贝U (m + 2)2 =.二、求下列各数的算术平
7、方根:311,_,_6; v 15 ; 0.8; 10-2 ; v 15 ; 1.12三、解:由题意得 AC = 5.5 米,BC=4.5 米,ZABC = 90。,在 RtA ABC 中,由勾股定理得AB AC2 -BC2 =辽52 -4.52 -10 (米).所以帐篷支撑竿 的高是丫 10米.目的:旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况,以便根据学生 情况调整教学进程.效果:练习注意了问题的梯度性,由浅入深,一步步加深对算术平方根的概 念以及性质的认识.对学生的回答,教师要给予评价和点评.第五环节:学习小结内容:这节课学习的算术平方根是本章的基本概念,是为以后的学习做铺垫 的通过这
8、节课的学习,我们要掌握以下的内容:算术平方根的概念,式子需中的双重非负性:一是a0,二是需三0.(2) 算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根 是 0;负数没有算术平方根.(3) 求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,利用这个互 逆运算关系求非负数的算术平方根.目的:依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点,强化算 术平方根的概念和性质.第六环节:作业布置习题 2.3四、教学设计反思1.细讲概念、强化训练 要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深 化的过程.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特
9、 征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程 的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.概念教学过程中要做到:讲清概 念,加强训练,逐步深化.“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征.算术平方根 的本质特征就是定义中指出的:“如果一个正数x的平方等于a,即x2 a,那 么这个正数x就叫做a的算术平方根,”的“正数x”,即被开方数是正的,由 平方的意义,a也是正数,因此算术平方根也必须是正的.当然零的算术平方根 是零.“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的 质和量,也包括书写格式的训练,如在求正数的算术平方根时,不是直接写出算术
10、平方根,而是通过平方运算来求算术平方根,非平方数的算术平方根只能用根 号来表示.“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组 成题组,在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.2发展思维、适度拓展在教学中,根据学生的实际情况,在学有余力的情况下,可以对a的双重非负性的知识进行适当的拓展.7.3 平行线的判定 第一环节:情景引入 活动内容: 回顾两直线平行的判定方法 师:前面我们探索过直线平行的条件大家来想一想:两条直线在什么情况下互相平行呢? 生 1 :在同一平面内,不相交的两条直线就叫做平行线生 2 :两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线互相平行生 3 :同位角相等
11、两直线平行;内错角相等两直线平行;同旁内角互补两直线平行 师:很好这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的 上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题除公理、定义外,其他真命题都需要通过推理 的方法证实我们知道: “在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”是定义“两条直线被第三条 直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行”是公理那其他的三个真命题如何证实 呢?这节课我们就来探讨活动目的: 回顾平行线的判定方法,为下一步顺利地引出新课埋下伏笔教学效果: 由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识,教师通过对话的形式,可以使学生很快 地回忆起这些知识第二环节:探索平行线判定方法的
12、证明 活动内容: 证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行 师:这是一个文字证明题,需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言所以 根据题意,可以把这个文字证明题转化为下列形式:如图,已知,Z1和Z2是直线a、b被直线c截出的同旁内角,且Z1与Z2互补,求证:a b.如何证明这个题呢?我们来分析分析师生分析:要证明直线a与b平行,可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可 以知道:Z1与Z3是同位角,所以只需证明Z1=Z3,则a与b即平行.因为从图中可知Z2与Z3组成一个平角,即Z2+Z3=180,所以:Z3=180Z2又因 为已知条件中有Z2与Z1互补,
13、即:Z2+Z1=180,所以Z1=180Z2,因此由等量代 换可以知道:Z1=Z3.师:好.下面我们来书写推理过程,大家口述,老师来书写.(在书写的同时说明:符号“” 读作“因为”,“”读作“所以”)证明:Z1与Z2互补(已知)AZ1+Z2=180(互补定义)AZ1=180Z2 (等式的性质)TZ3+Z2=180(平角定义) AZ3=180Z2 (等式 的性质)AZ1=Z3 (等量代换).ab (同位角相等,两直线平行) 这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题,我们把这个真命题称为:直线平行的判 定定理.这一定理可简单地写 成:同旁内角互补,两直线平行.注意:(1)已给的公理,定义和已经
14、证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.(2) 证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”.这些根据,可以是已知条件,也可以是 定义、公理,已经学过的定理.在初学证明时,要求把根据写在每一步推理后面的括号内. 证明:内错角相等,两直线平行. 师:小明用下面的方法作出了平行线,你认为他的作法对吗?为什么?(见相关动画)生:我认为他的作法对他的作法可用上图来表示:zCFE=45 ,ZBEF=45 因为ZBEF 与ZFEA 组成一个平角,所以ZFEA=180ZBEF=18045 =135 .而ZCFE 与Z FEA是同旁内角.且这两个角的和为180,因此可知:CDAB.师:很好.从图中可知:
15、zCFE与ZFEB是内错角.因此可知:“内错角相等,两直线平行” 是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.师生分析:已知,Z1和Z2是直线a、b被直线c截出的内错角,且Z1=Z2. 求证:ab证明:Z1=Z2 (已知)Z1+Z3=180(平角定义)AZ2+Z3=180(等量代换)AZ2与Z3互补(互补的定义)ab (同旁内角互补,两直线平行).这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理:内错角相等,两直线平行. 借助“同位角相等,两直线平行”这一公理,你还能证明哪些熟悉的结论呢? 生1:已知,如图,直线a丄c,b丄c.求证:ab.证明:.a丄c,b丄c (已知).Z1=90Z2=90。(垂直的定义)AZ1=Z2 (等量代换).ba (同位角相等,两直线平行)生 2:由此可以得到:“如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行”的结论. 师:同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.活动目的: 通过对学