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1、2.2 平方根第 1 课时 算术平方根第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限1循环小数，无理数是无限不循环小数比如上一节课我 们做过的：由两个边长为 1 的小正方形，通过剪一剪， 拼一拼，得到一个边长为 a 的大的正方形，那么有a2 = 2 , a =, 2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2 = a ,则a叫x的平方，反过来x叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习.方法二：问题导入 内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结 合图形完成填空：x
2、 2 =， y 2 =， z2 =，w 2 =.目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算 术平方根的必要性效果：能表示x2 = 2， y 2 = 3， z2 = 4， w2 = 5 ；能求得z = 2，但不能求得x， y ， w 的值.说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前 启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明 学习这节课的必要性.相对而言，建议选用方法二.第二环节：初步探究内容 1：情境引出新概念x2二2 , y2二3 , z2 = 4 , w2二5，已知幂和指数，求底数x，你能求出来 吗？目的：让学生体
3、验概念形成过程，感受到概念引入的必要性效果：学生可以估算出x , y是1到2之间的数，w是2到3之间的数，但 无法表示X，y，w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算一 开方说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习 的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数X，你能求出来吗？”内容 2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个正数X就叫做a 的算术平方根，记为“J： ”，读作“根号a ”.特别地，我们规定0的算术平方 根是0，即卞0 = 0 目的：对算术平方根概念的认识效果：了解算术平方根的概念，知
4、道平方运算和求正数的算术平方根是互逆 的内容 3：简单运用 巩固概念例 1 求下列各数的算术平方根：49(1) 900； (2) 1；(3)； 14.64目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算 术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算 术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是v14 效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个 正数的算术平方根是正数， 0 的算术平方根是 0，负数没有算术平方根答案：解：因为302二900，所以900的算术平方根是30,即v900二30；（2）因为12 = 1，所以1的算术平方
5、根是1,即J二1 ；即需-7因为（7）2 = 64，所以6|的算术平方根是7,（4）14的算术平方根是*1?.内容4：回解课堂引入问题x2 - 2 , y2 - 3 , w2 - 5，那么 x 弋2 , y - 3 , w - 5 .第三环节：深入探究内容1:例2自由下落物体的高度h （米）与下落时间t（秒） 的关系为h 4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落, 到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题效果：学生多能利用等式的性质将h 4.9t2进行变形，再 用求算术平方根的方法求得题目的解解：将h 19.6代入公式h 4.9t2，得12 4，所以正数t -刁-
6、2（秒）.即铁球到达地面需要 2 秒.说明：强调实际问题t是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的.内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：中的a是一个非负 数，a的算术平方根也是一个非负数，负数没有算术平方根.这也是算术平 方根的性质双重非负性.效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方 根第四环节：反馈练习一、填空题：1. 若一个数的算术平方根是7,那么这个数是2. 厉的算术平方根是;3. (3)2的算术平方根是；4 .若 ： m + 2 = 2，贝U (m + 2)2 =.二、求下列各数的算术平
7、方根：311,_,_6； v 15 ； 0.8； 10-2 ； v 15 ； 1.12三、解：由题意得 AC = 5.5 米，BC=4.5 米，ZABC = 90。，在 RtA ABC 中，由勾股定理得AB AC2 -BC2 =辽52 -4.52 -10 (米).所以帐篷支撑竿 的高是丫 10米.目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生 情况调整教学进程.效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概 念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评.第五环节：学习小结内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫 的通过这
8、节课的学习，我们要掌握以下的内容：算术平方根的概念，式子需中的双重非负性：一是a0,二是需三0.(2) 算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根 是 0；负数没有算术平方根.(3) 求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互 逆运算关系求非负数的算术平方根.目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算 术平方根的概念和性质.第六环节：作业布置习题 2.3四、教学设计反思1.细讲概念、强化训练 要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深 化的过程.概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特
9、 征，保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程 的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的.概念教学过程中要做到：讲清概 念，加强训练，逐步深化.“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征.算术平方根 的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x的平方等于a，即x2 a，那 么这个正数x就叫做a的算术平方根，”的“正数x”，即被开方数是正的，由 平方的意义，a也是正数，因此算术平方根也必须是正的.当然零的算术平方根 是零.“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的 质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术
10、平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根 号来表示.“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组 成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.2发展思维、适度拓展在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对a的双重非负性的知识进行适当的拓展.7.3 平行线的判定 第一环节：情景引入 活动内容： 回顾两直线平行的判定方法 师：前面我们探索过直线平行的条件大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？ 生 1 ：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线生 2 ：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行生 3 ：同位角相等
11、两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行 师：很好这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的 上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理 的方法证实我们知道： “在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义“两条直线被第三条 直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理那其他的三个真命题如何证实 呢？这节课我们就来探讨活动目的： 回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔教学效果： 由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快 地回忆起这些知识第二环节：探索平行线判定方法的
12、证明 活动内容： 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言所以 根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如图，已知，Z1和Z2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且Z1与Z2互补，求证：a b.如何证明这个题呢？我们来分析分析师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可 以知道：Z1与Z3是同位角，所以只需证明Z1=Z3，则a与b即平行.因为从图中可知Z2与Z3组成一个平角，即Z2+Z3=180，所以：Z3=180Z2又因 为已知条件中有Z2与Z1互补，
13、即：Z2+Z1=180，所以Z1=180Z2，因此由等量代 换可以知道：Z1=Z3.师：好.下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的同时说明：符号“” 读作“因为”，“”读作“所以”）证明：Z1与Z2互补（已知）AZ1+Z2=180（互补定义）AZ1=180Z2 （等式的性质）TZ3+Z2=180（平角定义） AZ3=180Z2 （等式 的性质）AZ1=Z3 （等量代换）.ab （同位角相等，两直线平行） 这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判 定定理.这一定理可简单地写 成：同旁内角互补，两直线平行.注意：（1）已给的公理，定义和已经
14、证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.（2） 证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是 定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内. 证明：内错角相等，两直线平行. 师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）生：我认为他的作法对他的作法可用上图来表示：zCFE=45 ,ZBEF=45 因为ZBEF 与ZFEA 组成一个平角，所以ZFEA=180ZBEF=18045 =135 .而ZCFE 与Z FEA是同旁内角.且这两个角的和为180，因此可知：CDAB.师：很好.从图中可知：
15、zCFE与ZFEB是内错角.因此可知：“内错角相等，两直线平行” 是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.师生分析：已知，Z1和Z2是直线a、b被直线c截出的内错角，且Z1=Z2. 求证：ab证明：Z1=Z2 （已知）Z1+Z3=180（平角定义）AZ2+Z3=180（等量代换）AZ2与Z3互补（互补的定义）ab （同旁内角互补，两直线平行）.这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行. 借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？ 生1：已知，如图，直线a丄c,b丄c.求证：ab.证明：.a丄c,b丄c （已知）.Z1=90Z2=90。（垂直的定义）AZ1=Z2 （等量代换）.ba （同位角相等，两直线平行）生 2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论. 师：同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.活动目的： 通过对学
