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1、 海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 （文科） 2011.4 选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合，则A. B. C. D. R2. 设，则 A. B. C. D. 3函数图象的对称中心为 A B. C. D. 4. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为 A. 25 B24 C. 23 D225.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为A B. C. D. 6. 在同一个坐标系中画出函数的部分图象，其中，则下列所给图象中可能正确的是 7
2、. 已知函数 则“”是“在上单调递增”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 8.若直线被圆所截的弦长不小于2，则与下列曲线一定有公共点的是A B C. D 非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 计算_. 10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，则它们的大小关系为 . （用“”连接） 11. 如图，在正方体中，点P是上底面内一
3、动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为_. 12. 已知函数，则=_;函数图象在点处的切线方程为_13. 已知向量，其中.若，则的取值范围为 . 14如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=， 的面积为.则的定义域为_；的最大值为 _. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题共13分）在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，,且.() 求；() 求的值. 16. （本小题共13分）数列的前项和为，若且（，）. ( I )求；( II ) 是否存在等比数列满足？若存在，则求出
4、数列的通项公式；若不存在，则说明理由. 17. （本小题共13分）如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且为中点. ( I ) 求证：平面；( II ) 求证：. 18. （本小题共14分）已知函数（）若，求函数的极值和单调区间；(II) 若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆 经过点其离心率为. （）求椭圆的方程；()设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点. 求到直线距离的最小值. 20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，（）设数列，求； (II) 若中
5、最大的项为50， 比较的大小；（）若，求函数的最小值. 海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文）答案及评分参考 20114 选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案CABCADBB 非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 10. 11. 1 12. ， 13. 14. 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15. （共13分） 解：（I）因为，, 3分 代入得到，. 6分（II）因为 7分 所以 9分又，所以. 10分因为，且，所以 ， 11分由，得. 13分
6、16. （共13分）解：（I）因为，所以有对，成立 2分即对成立，又, 所以对成立 3分所以对成立 ，所以是等差数列， 4分所以有 ， 6分（II）存在. 7分由（I），对成立 所以有，又， 9分所以由 ，则 11分所以存在以为首项，公比为3的等比数列，其通项公式为 . 13分17. （共13分）证明: (I) 因为为中点，所以 1分又，所以有 2分所以为平行四边形,所以 3分又平面平面所以平面 . 5分(II)连接.因为所以为平行四边形， 6分又,所以为菱形，所以 ， 7分因为正三角形,为中点，所以 ， 8 分 又因为平面平面,平面平面 ， 所以平面， 10分而平面，所以 ，又，所以平面.
7、12分又平面，所以 . 13分18. （共14分）解：（I）因为 ， 2分当， ， 令，得 ， 3分又的定义域为，随的变化情况如下表：0极小值 所以时，的极小值为1 . 5分的单调递增区间为，单调递减区间为； 6分（II）解法一：因为 ，且， 令，得到 ， 若在区间上存在一点，使得成立， 其充要条件是在区间上的最小值小于0即可. 7分 （1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为， 由，得，即 9分 （2）当，即时， 若，则对成立，所以在区间上单调递减， 所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立 11分 若，即时，则有极小值 所以在区间上的最小值为，
8、由，得 ，解得，即. 13分综上，由(1)（2）可知：符合题意. 14分 解法二：若在区间上存在一点，使得成立， 即，因为, 所以，只需 7分令，只要在区间上的最小值小于0即可因为，令，得 9分（1）当时：极大值 因为时，而， 只要，得，即 11分 （2）当时：极小值 所以，当 时，极小值即最小值为，由， 得 ，即. 13分 综上，由(1)（2）可知，有 . 14分 19. （共14分）解：（）由已知，所以， 1分 又点在椭圆上，所以 ， 2分 由解之，得. 故椭圆的方程为. 5分 () 当直线有斜率时，设时，则由 消去得， 6分， 7分设A、B、点的坐标分别为，则：，8分 由于点在椭圆上，所以 . 9分 从而，化简得，经检验满足式. 10分 又点到直线的距离为： 11分 当且仅当时等号成立 12分当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点为，直线为，所以点到直线的距离为1 13分所以点到直线的距离最小值为 14分20. （共13分） 解: (I) 因为数列， 所以， 所以 . 3分 (II) 一方面，
