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1、高中数学立体几何 空间距离1两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离2.点到平面的距离从平面外一点引一种平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离如果一条直线和一种平面平行,那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离两平行平面间的距离和两个平行平面同步垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一:两条异面直线间的距离【例1】 如图，在空
2、间四边形BC中，A=BC=CD=DA=CBD=a，、F分别是、CD的中点.例1题图（1）求证：EF是AB和D的公垂线；(2)求AB和D间的距离;【规范解答】(）证明:连结A，BF，由已知可得AF=BF.又由于EB，因此FA交A于E.同理FD交于点F因此EF是B和的公垂线.(2）在REF中，B=,BE=,因此E2=F2-BE2=2，即=.例2题图由（1）知EF是A、C的公垂线段，因此B和C间的距离为.【例2】 如图,正四周体ABD的棱长为1,求异面直线AB、D之间的距离.设AB中点为E，连C、E.ACBC，E=ECDAB同理DAB.AB平面C.设C的中点为F,连,则BF.同理可证CDEF.F是异
3、面直线A、的距离.E,F=F,EC=9,E=.AB、C的距离是.【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本措施：(）运用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.(3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.例3题图题型二：两条异面直线间的距离【例3】 如图(1),正四周体ABD的棱长为1,求：A到平面BCD的距离;过A作AO平面BD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE.B=A=A，=OC=O.O是BCD的外心.又DC=C,O是C的中心，BOBE=.又AB
4、=1，且A0，O=.到平面的距离是.【例4】 在梯形ABCD中，ADC，ABC=，ABa,A=3a且snADC=,又PA平面ABCD,PA=a，求：（1)二面角PCDA的大小; (2)点到平面PBC的距离.【规范解答】 （1)作AFC于F,连结P,P平面ABCD,AFD,FDC,PFA就是二面角PCDA的平面角.在AD中，FD9，DF=arcsn，AD=3a，A=,在tPAF中taP=,PA=arc an.(2)A平面AD,AC，又BCAB，B平面AB,作AHP,则AH,AH平面PBC,PAAB,=AB=a,P=，AH=.【例5】 如图，所示的多面体是由底面为BCD的长方体被截面EC1F所截面
5、而得到的,其中=4,BC2，C13,E=（)求B的长;（)求点C到平面EF的距离.解法1:（)过E作H/BC交C1于H,则C=BE=1，EH/A,且EH=AD.AEC1,FAD=C1EH.RtDFRtHC1DFC1H. （)延长C1E与B交于G,连A,则平面AECF与平面BCD相交于G.过C作MAG，垂足为M，连C1M,由三垂线定理可知AG1.由于G面C1C,且G面AF，因此平面AEC1面C1C在tC1CM中，作CC1,垂足为Q，则Q的长即为C到面AEC1F的距离.解法2:（I）建立如图所示的空间直角坐标系,则D(,0,0）,B（2，4,0），A(，0,0）,C（0，4，），E（2，4,1），
6、C1（0，4，3）.设F(0，0,z）.AE1为平行四边形,(II）设为面C1F的法向量,的夹角为a，则C到平面AC1的距离为【例6】 正三棱柱的底面边长为8，对角线,D是C的中点。BACD（1）求点到直线AC的距离.()求直线到平面的距离.解:(1）连结BD,由三垂线定理可得：,因此就是点到直线AC的距离。在中.()由于C与平面交于的中点D，设,则/DE,因此/平面,因此到平面B的距离等于A点到平面B的距离，等于C点到平面B的距离,也就等于三棱锥的高, ，,即直线到平面BD的距离是【解后归纳】 求空间距离注意三点：1.常规遵循一作二证三计算的环节；2.多用转化的思想求线面和面面距离;3体积法
7、是一种较好的求空间距离的措施【范例】如图,在长方体AC1中，AD=11，AB=2，点E在棱A上移动（1）证明：D1EAD;（2）当为AB的中点时,求点E到面CD的距离；（3）AE等于何值时，二面角DEC的大小为解析：法1（1)A面A1D，ADA1，A1DDE（2)设点到面ACD的距离为h，在CD1中,AC=CD1=，AD1=,故(3）过D作DHCE于H，连D、DE，则DHCE, DHD1为二面角D1ECD的平面角.设AE，则BE2-法2:以D为坐标原点，直线DA、DC、D1分别为x、z轴,建立空间直角坐标系，设AE=x,则A(1，0,1)，D1(0，0,1），E(1，x,0)，A(1,0,0)
8、, C(，2，0).（）(2)由于E为AB的中点，则E(1,1，0),从而,设平面ACD1的法向量为，则也即，得,从而，因此点到平面AD1C的距离为(3）设平面D的法向量，由 令=1, c=2, a=2x，依题意（不合,舍去）, .AE时，二面角D1ECD的大小为.相应训练 分阶提高一、基本夯实1.把边长为a的正ABC沿高线D折成6的二面角,则点到C的距离是 （ )A.a B. C D.2BC中，AB=,=15，AC1AC所在平面外一点P到三个顶点A、C的距离都是4,那么点P到平面的距离为 （ )A. B.9 .11 .133.从平面外一点向引两条斜线A,PB.A，B为斜足,它们与所成角的差是
9、45，它们在内的射影长分别是cm和12m ,则P到的距离是 ( ).4cm B.3cm或4cm .6cm D.m或6cm4.空间四点、B、D中，每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段A上，动点在线段CD上，则P与Q的最短距离为 ( )A. B. C D.a.在四周体PABC中，PA、P、PC两两垂直.M是面ABC内一点，且点到三个面PA、PC、PCA的距离分别为2、3、，则点M到顶点的距离是 ( ).7 . 10如图，将锐角为60，边长为a的菱形AB沿较短的对角线折成0的二面角,则AC与BD的距离是 ( )A B. . D. 第6题图第7题图7.如图，四棱锥PCD的底面为正方形,D底面AB，
10、PD=AD,设点C到平面AB的距离为d,点B到平面PC的距离为d2,则有 （ )A.1d1d .d21Cd1d2 D.d118.如图所示，在平面的同侧有三点A、B、C，A的重心为G如果A、B、C、到平面的距离分别为a、，那么ab等于 ( ）A.d B.3d C.4d D.以上都不对第8题图第9题图9.如图，菱形AC边长为a,A=60，、F、G、H分别是、C、D、DA上的点且，沿E和FG把菱形的两锐角折起,使A、C重叠，这时点到平面EFGH的距离是 ( )A. B. . D.二、思维激活0.二面角-MN等于60，平面内一点A到平面的距离AB的长为4，则点B到的距离为 . 1在60的二面角l中,A
11、,ACl于C,B，BDl于D，又=D=a,CD=，则A、B两点间距离为 . 1.设平面外两点A和到平面的距离分别为4c和c，A与平面所成的角是60，则线段A的长是 .3.在直角坐标系中,已知（,),(3，-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为的二面角AOB后,AOB=,则o的值是 三、能力提高14在边长为的菱形ABD中,AB60,C平面ABD,E是PA的中点，求点E到平面PB的距离.15.在直三棱柱ABCA1B11中，AB为直角，侧面B1与侧面AC所成的二面角为60，为AA上的点A1MC=30，BMC1=0，A=a.()求B与侧面C1所成角的正切值.第15题图(2)求顶点到面BM的距离1.已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面ACC1与底面AB垂直.ABC=0,BC2，AC=2，且AAA,A1=A1.()求侧棱1A与底面ABC所成角的大小；(2)求侧面1AB1与底面所成二面角的大小;（）求顶点到侧面A1BB1的距离.如图,在棱长为的正方体ACA11C1中，E、F分别为棱B与BC的中点，EF与BD交于H.(1)求二面角1EFB的大小.(2)试在棱1上找一点M,使M面FB1，并证明你的结论.(3）求点1到面EB1的距离 第17题图空间的距离习题解答1.D 折后BC=，点A到BC的距离为.A BC=AC外接圆半径R，点P到的距离为. 设PO垂足为,|P|=
