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1、概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结导数1、 导数的背景：(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际成本。如一物体的运动方 程是s = 1 -1 +12，其中s的单位是米的单位是秒，那么物体在t = 3时的瞬时速度为(答：5米/秒)2、导函数的概念：如果函数f 3)在开区间(a,b)内可导，对于开区间(a,b)内的每 一个x，都对应着一个导数f (x0)，这样f (x)在开区间(a,b)内构成一个新的函数， 这一新的函数叫做f (x)在开区间(a,b)内的导函数，记作f，(x)= y= lim宇Axr0 kf (x + Ax)- f (x)=lim ，导函数也简称为导数。Ax T0Ax3、
2、求y = f (X)在x0处的导数的步骤：(1)求函数的改变量A = f (x0 + Ax) f (x0)； (2)求平均变化率Ay = f A +*) f A)；(3)取极限， 得导数f( )= lim牛。AxU x0口 I。Ax4、导数的几何意义：函数f (x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y = f (x)在点 P 10f(x0)处的切线的斜率，即曲线y = f (x)在点P(x0 f(x0)处的切线的斜率是 f (xj，相应地切线的方程是y y0 = f(x )(xx )。 特别提醒：(1)在求曲线的切线 方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某
3、点处 的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条;(2)在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当2 . 此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是f (x )。如(1)P在曲线y = x3 x + 了上移 03兀3兀动，在点P处的切线的倾斜角为a，则a的取值范围是 (答：0)才，兀)；(2) 直线y = 3x +1是曲线y = x3 a的一条切线,则实数a的值为(答：-3或1)；(3)-1C八已知函数f (x) = 2x3 -x2 + m ( m为常数)图象上A处的切线与x y + 3 = 0的夹角为兀1T 八丁，则A点的横坐标
4、为 (答：0或-)；(4)曲线y = x3 + x +1在点(1,3)处的切线方462程是 (答：4x y 1 = 0 )；(5)已知函数 f (x) = x3 + ax2 + 4x，又导函数y = f(x)的图象与x轴交于(k,0),(2 k,0), k 0。求a的值；求过点(0,0)的35曲线y = f (x)的切线方程(答：1；y = 4 x或yx )。85、导数的运算法则：(1)常数函数的导数为0，即C = 0 (C为常数)；(2)2、； x(xn ) =nxn1 (n e Q)，与此有关的如下:1(答：4 )；(2)函(3)若 f (x), g (x)有导数，则f (x) 土 g (
5、x) = f(x) 土 g (x)；CUf (x) = Cf (x)。如(1)已知函数f (x) = mxmn的导数为f (x) = 8 x 3，则mn =数 y = (x 1)(x +1)2 的导数为 (答：y = 3x2 + 2x 1 )；(3)若对任意x e R， f(x) = 4x3, f (1) =1，则 f (x)是 (答：f (x) = x4 2 )6、多项式函数的单调性：(1) 多项式函数的导数与函数的单调性： 若f(x) 0,则f (x)为增函数；若f (x) 0，反之等号不成立；若函数y = f (x)在区间(a,b)上单调递减，则f f(x) 0，反之等号不成立。如(1)
6、函数 f (x) = x3 + ax2 + bx + c，其中a,b,c为实数，当a2 - 3b 0函数f (x) = x3 - ax在1,+8)上单调函数，则实数a的取值范围(答：0 a 3)；(3)已知函数f (x) = -x3 + bx(b为常数)在区间(0,1)上单 调递增，且方程f (x) = 0的根都在区间-2,2内，则b的取值范围是 (答： 3,4)； (4)已知 f (x) = x2 +1， g(x) = x4 + 2x2 + 2，设中(x) = g(x)-Xf (x)，试问 是否存在实数X，使中(x)在(-8,-1)上是减函数，并且在(-1,0)上是增函数？(答：X = 4)
7、(2) 利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求f Xx) ；(2)求方程f x) = 0的根，设 根为x ,x，x ；(3)x ,x，x将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判12 n12 n断f(x)的符号，由此确定每一子区间的单调性。 如设函数f (x) = ax3 + bx2 + cx在 x = -1,1处有极值，且f (-2) = 2，求f (x)的单调区间。(答：递增区间(一1,1)，递减区 间(-8,-1),(1, +8)7、函数的极值：(1) 定义：设函数f (x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有 f (x) f (x )，就说是f (x )函数f (x
8、)的一个极小值。记作y =00极小值f (x )。极大值和极小值统称为极值。0(2) 求函数y = f(x)在某个区间上的极值的步骤:(i)求导数f(x)； (ii)求方程 f (x) = 0的根 ； (iii)检查f(x)在方程f(x) = 0的根的左右的符号：“左正右负” O f (x)在x处取极大值；“左负右正” O f (x)在x处取极小值。特别提醒：(1)x0是 极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f (x0) = 0，f(x0) = 0是x0为极值点 的必要而不充分条件。(2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f(x0) = 0，又要考 虑检验“左正右负”(“左负右
9、正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如(1)函数y = (x2 -1)3 +1的极值点是 A、极大值点x = -1 B、极大值点x = 0 C、 极小值点x = 0 D、极小值点x = 1 (答：C)；(2)已知函数f (x) = x3 + ax2 + (a + 6)x +1 有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 (答：a 6或a -3 )；(3)函数 f (x)= * + ax + bx+ d在 x=1 处有极小值 10，则 a+b 的值为 (答：一7)；(4)已知函数f (x) = x3 + bx2 + cx + d在区间1,2 上是减函数，那么b+c有最值(答:大，158
10、、函数的最大值和最小值：(1)定义：函数f (x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数f (x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。(2)求函数y = f (x)在a,b上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y = f (x)在(a,b )内的极值(极大值或极小值)；(2)将y = f (x)的各极值与f (a)，f (b)比较，其 中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。如(1)函数J = 2x3 3x2 - 12x + 5在0, 3上的最大值、最小值分别 (答：5； -15 )； (2)用总长14.8m的钢条制作
11、一个 长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m。那么高为多少时容器9 -的容积最大？并求出它的最大容积。(答：高为1.2米时，容积最大为5cm3)特别注意：(1)利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时，要注意列表！2)要善 于应用函数的导数，考察函数单调性、最僵极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不 等式等相关问题。如(1) f Xx)是f (x)的导函数，f x)的图象如右图所示，则f (x)的 图象只可能是(答：D )O a b x Oa bxa b x O a b x(2)方程 x 3 - 6 x 2 + 9x-10 = 0的实根的个数为 (答:D、1)；(3
12、)已知函数 f (x) = x3 - ax2 - x，抛物线C : x2 = j，当x E (1,2)时，函数f (x)的图象在抛物线 C : x2 = j的上方，求a的取值范围(答：a -1)0练习1已知函数f (x)在x = 1处的导数为3,则f (x)的解析式可能为()A. f (x) = (x -1)2 + 3(x -1)B. f (x) = 2(x -1)C. f (x) = 2(x -1)2 D. f (x) = x -1 (04 湖北 3)2函数J = (x +1)2(x -1)在x = 1处的导数等于()A. 1 B. 2C. 3 D. 4 (04 甘肃 4)3.曲线J = x
13、3 - 3x2 +1在点(1，1)处的切线方程为()A. J = 3x一4 B. J = -3x + 2 C. J = -4x + 3 D. J = 4x一5 (04 四川 3)4函数f (x) = x3 + ax2 + 3x 9，已知f (x)在x =-3时取得极值，则a =.()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(05 河北 3)兀,5在函数J = x3 -8x的图象上，其切线的倾斜角小于一的点中，坐标为整数的点的个数是4()A. 3B. 2 C. 1 D. 0 (05 湖北 11)6函数j = ax3 +1的图象与直线j = x相切，则a =()111A. 1 B. 1C. 1D.
14、 1(05 浙江 9)8427.(广东卷文8) 函数f G)=G - 3x 的单调递增区间是A. J,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+Q8.(湖南卷文7)若函数y = f G)的导函数在区间屋。上是增函数，则函数y = f 6)在区yo a b xA .间a, b 上的图象可能是0 a b xB.】C.D.9已知f (x) = ax3 + 3x2 x +1在R上是减函数，求a的取值范围.(04河北19)10 已知函数fx)=x3 + 3x2+9x+a,(I)求fx)的单调递减区间；(II) 若fx)在区间2, 2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.(05北京19)11 已知 x = 1 是函数 f (x) = mx3 3(m + 1)x2 + nx +1 的一个极值点，其中 m, n g R, m v 0.(I)求m与n的关系表达式；(II)求f (x)的单调区间；(05山东19)12某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的1 . 关系式为：P = 24200 5x2,且生产x吨的成本为R = 5000
