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1、word初三数学方案设计专题北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：方案设计专题【典型例题】 1. 设计最佳方案题例1. 黄冈某商场在世界杯足球比赛期间举行促销活动，并设计了两种方案：一种是以商品价格的九五折优惠的方式进行销售；一种是采用有奖销售的方式，具体措施是：有奖销售自2006年6月9日起，发行奖券10000X，发完为止；顾客累计购物满400元，赠送奖券一X（假设每位顾客购物每次都恰好凑足400元）；世界杯后，顾客持奖券参加抽奖；奖项是：特等奖2名，各奖3000元奖品；一等奖10名，各奖1000元奖品；二等奖20名，各奖300元奖品；三等奖100名，各奖100元奖品；四等奖200名，各奖
2、50元奖品；纪念奖5000名，各奖10元奖品。试就商场的收益而言，对两种促销方法进行评价，选用哪一种更为合算？解：设在定价销售额为40010000元的情况下，采用打折销售的实际销售金额为W1元，采用有奖销售的实际销售金额为W2元。由题意有4001000095%3800000（元）W240010000（230001010002030010010020050500010）3908000（元）比较知：W2W1在定价销售额相同的情况下，实际销售额大，收益就大就商场的收益而言，选用有奖销售方式，更为合算。 例2. 某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每
3、辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租车，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？解：（1）设轿车要购买x辆，那么面包车要购买（10x）辆由题意得：解得：又，则x3，4，5购车方案有三种：方案一：轿车3辆，面包车7辆；方案二：轿车4辆，面包车6辆；方案三：轿车5辆，面包车5辆（2）方案一的日租金为：320071101370（元）方案二的日租金为：420061101460（元）方案三的日租金为：52005110155
4、0（元）为保证日租金不低于1500元，应选择方案三。 2. 设计图形题 例3. 直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形。方法如下：请你用上面图示的方法，解答下列问题：（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形。（2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形。解：（1）如图所示（2）如图所示 例4. 现有一X长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕）。除图甲外，请你再给出三个不
5、同的操作，分别将折痕画在图至图中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。如图乙和图甲是相同的操作）。解：答案列举如下： 3. 测量计算题 例5. 要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯。路灯的灯臂长为3m，且与灯柱成120o角（如图所示），路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直。当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想。问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？（精确到，）解：如答图所示，延长BA，CD交于点PADAB，CDBCCPAD90ADC120，ADP60P30PAD是直角三角形，P30PD
6、2AD6m，由于路宽为28mBC14mPBC是直角三角形，P30PCDCPCPD（m）答：应设计高的灯柱，才能取得最理想的照明效果。 4. 设计测量方案题 例6. 测量路灯的高度或河的宽度。说明：测量可以在有阳光的晴日里进行。测量者手头只有若干个标杆及测量长度的皮尺。画出相关图形，用a、b、c等表示测量所得的数据。题（1）小明和爸爸一起散步，发现小区新安装了漂亮的路灯。决定测量一下路灯的高度。请你帮小明设计一个测量方案。题（2）小彬星期天到郊外游玩，来到一条不能到达对岸的河边，决定测量一下小河的宽度（河岸大致平行）。请你帮助小彬设计一个测量方案。解：（1）如图所示：路灯下，测出路灯的影长ACa
7、利用皮尺测出标杆的影长CDb标杆的长为c，即可求路灯的高度。注：利用阳光下的影子也可。（2）如图所示：在对岸岸边选点A，所在一侧选点B和D，使点A、B、D在一条直线上，且与河岸垂直。确定点C、E，使CBAD，DEAD，且AD、EC交于点A。可测得BDa，BCb，DEc，即可求河宽AB。【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 某地板厂要制作一批正六边形形状的地板砖，为适应市场多样化需求，要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分，请你帮他们设计等分图案（至少设计两种）。 2. 探究规律：如图1，已知直线m/n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点。图1（1）请写出图1中，面积相等的各对
8、三角形：_；（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有_与ABC的面积相等。理由是：_。解决问题：如图2，五边形ABCDE是X大爷十年前承包的一块土地的示意图。经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图3中折线CDE）还保留着。X大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多。请你用有关的几何知识，按X大爷的要求设计出修路方案。（不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由。 3. 如图，这些等腰
9、三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。设等腰三角形的底和腰分别为a、b，底角和顶角分别为、，要求“正度”的值是非负数。同学甲认为：可用式子|ab|来表示“正度”，|ab|的值越小，表示的等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子|来表示“正度”，|的值越小，表示的等腰三角形越接近正三角形。探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么？（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。 4. 现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻
10、度，且两边长度都长于井盖半径）。请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤（要求写出两种测量方案）。 5. 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了两种优惠办法：甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款。某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x10）本。（1）写出每种优惠办法实际付款金额（元）、（元）与x（本）之间的函数关系式；（2）比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；（3）如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一
11、种最省钱的购买方案。 6. 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备。现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：A型B型价格（万元/台）1210处理污水量（吨/月）240200年消耗费（万元/台）11经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元。（1）请你设计该企业有几种购买方案；（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备
12、的资金和消耗费） 7. 某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下两底分别为10m、20m的梯形空地上种植花木（如图）。（1）他们在AMD和BMC地带上种植太阳花，单价为8元/米2。当AMD地带种满花后，（图中阴影部分）共花了160元。请计算种满BMC地带所需的费用。（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择，单价分别为12元/米2和10元/米2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？参考答案 1. 如图所示 2. 探究规律：（1）ABC和ABP，AOC和BOP，CPA和CPB；（2）ABP。因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有ABP与ABC同底等
13、高，因此，它们的面积总相等。解决问题：（1）画法如图连结EC，过点D作DF/EC，交CM于点F，连结EF，EF即为所求直路的位置。（2）设EF交CD于点H，由上面得到的结论可知：SECFSECD，SHCFSEDH，S五边形ABCDES五边形ABCFES五边形EDCMNS四边形EFMN 3. 解：（1）同学乙的方案较为合理。因为|的值越小，与越接近60，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等。同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等。如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|24|2|48|4。（2）对同学甲的方案可改为用、等（k为正
14、数）来表示“正度”。（3）还可用|60|、|60|、|120|、等来表示“正度”。 4. 解法1：如图1，把井盖卡在角尺间，可测得AB的长度。记井盖所在圆的圆心为O，连接OB、OC，由切线的性质得OBAB，OCAC。又ABAC，OBOC，则四边形ABOC为正方形。那么，井盖半径OCAB，这样就可求出井盖的直径。图1（2）解法2：如图2，把角尺顶点A放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点B，另一边交于点C（若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点C），度量BC长即为直径。图2解法3：如图3，把角尺当直尺用，量出AB的长度，取AB中点C，然后把角尺顶点与C点重合，有一边与CB重合，让另一边与井盖边交于D点，延长DC交井盖边于E，度量DE长度即为直径。图3解法4：如图4，把井盖卡在角尺间，记录B、C的位置，再把角尺当作直尺用，可测得BC的长度。图4记圆心为O，作ODBC，D为垂足，由垂径定理得DC，且BODCOD。
