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1、三阶行列式展开9.4（ 2）三阶行列式 按一行 (或一列 )展开一、教学内容分析三阶行列式按一行 (或一列 )展开是三阶行列式计算的另外一种法则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、 三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法， 这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行 (或一列 )展开法则二、教学目标设计 掌握余子式、代数余子式的概念； 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行 (或一列 )展开方法，体验研究数学的一般方法
2、；(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式） 、将复杂问题简单化的数学思想三、教学重点及难点三阶行列式按一行 (或一列 )展开、代数余子式的符号的确定四、教学过程设计一、情景引入【实验探究 1】(1) 将下列行列式按对角线展开：b2c2_b3c3a2c2_a3c3b1c1_b2c2a1b1c1a2b2c2_a3b3c3a2b2a3b3b1c1b3c3_(2) 对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式a1b1c1a2b2c2 表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？a3b3c3 说明(1) 请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的知识；同时，有意识地设计这几个行列式
3、的展开， 有助于学生发现三a1b1c1阶行列式a2b2c2 与相应的二阶行列式间的关系a3b3c3a1b1c1(2) 将三阶行列式 a2 b2 c2 表示成几个含有二阶行列式运算的a3 b3 c3a1b1c1b2c2a2c2a2b2式子，结果可能不唯一，可以有 a2b2c2a1 b3c3b1 a3c3c1 a3b3a3b3c3等等二、学习新课知识解析a1b1c1在刚才的实验中，将三阶行列式a2b2c2 表示成了含有三个二a3b3c3阶行列式运算的式子，主要有：a1b1c1b2c2a2c2a2b2a2b2c2a1 b3c3b1 a3c3c1 a3b3a3b3c3a1b1c1b2c2b1c1b1c
4、1a2b2c2a1 b3c3a2 a3c3a3 b2c2a3b3c3a1b1c1b1 a2c2b2 a1c1b3 a1c1 等等a2b2c2a3c3a3c3ac2a3b3c32请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？a1b1c1b2c2a2c2a2b2事实上，以 a2b2c2a1b1c1为例，先将展a3b3c3b3c3a3c3a3b3a1b1c1开式 a2b2c2a1b2c3a2 b3c1a3b1c2a3b2c1a2 b1c3a1b3c2 变形为：a3b3c3a1b1c1a2b2c2(a1b2c3 a1b3 c2 ) (a3b1c2 a2b1c3 ) ( a2b3 c1 a3b
5、2c1 ) ，然后分别提取a3b3c3公因式，可以得到a1b1c1a2b2c2a1 (b2c3b3c2 )b1 (a3c2a2c3 )c1 (a2b3a3b2 )a3b3c3再利用实验中已有的展开式b2 c3b3 c2b2c2b3c3a2 c3a3c2a2 b3a3b2a2c2a3c3a2b2a3b3从而很容易就得到结果了其中二阶行列式、分别叫做元素a1 ， b1， c1 的余子式 ，添上相应的符号 ( 正号省略 ) ，如A1b2c2B1a2c2C1a2b2 ，b3c3a3c3a3b3ABC 分别叫做元素 a ， b ， c 的代数余子式 于是三阶行列1、 1 、1111式可以表示为第一行的各
6、个元素与其代数余子式的乘积之和：a1b1c1b2c2a2c2a2b2a2b2c2a1 b3c3b1a3c3c1 a3b3a3b3c3象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开 从上述研究， 我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式 不难发现，要确定某元素的代数余子式， 我们可以先确定其余子式， 然后确定代数余子式符号， 而最主要的就是其符号的确定为了让学生有较深刻的体会， 教师可以组织学生完成实验探究【实验探究 2】请学生结合刚才确定 a1 ， b1 ， c1 的余子式和代数余子式的方法，完成下表，并试
7、着研究某个元素的代数余子式的确定方法【工作 1】填写下表：元项目余子式代数余子式素a2a3b2b3c2c3【工作 2】总结代数余子式的确定方法： 说明(1) 以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；(2) 教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结(3) 通过上述研究，教师要引导学生发现： 确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去， 将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式； 而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第 i 行，第 j 列)有关，其代数余子式的正负号是“ (
8、1)i j ”一般地，三阶行列式可以按其任意一行 ( 或一列 ) 展开成该行 ( 或该列 ) 的各个元素与其代数余子式的乘积之和其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式( 尤其是其符号) 例题解析302例题 1. 按要求计算行列式：213231(1) 按第一行展开；(2) 按第一列展开 说明(1) 一个三阶行列式可以按其任意一行 ( 或一列 ) 展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式 ( 尤其是其符号 ) ；(2) 当一个三阶行列式的某一行 ( 或某一列 ) 元素中， 0 的个数较多，我们往往将行列式按照该行 ( 或该列 ) ，这样计算往
9、往比较方便例题 2. 计算：bcacab111(1)abcefdfdedef(2)a2b2c2b2a2c2c2a2b2bcac3ab33333参考答案 (1)0(2)0 说明(1) 设计这样一组例题主要有两个目的：一，考查学生的逆向思维能力；二，为后续知识的学习做准备；(2) 由例题 2(2) 计算结果，我们可以发现：如果将三阶行列式的某一行 ( 或一列 ) 的元素与另一行 ( 或一列 )的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和为零；如果一个二阶行列式或 ( 三阶行列式 ) 有两行 ( 或两列 ) 相同，那么这个行列式等于零问题拓展思考：我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则， 为什么这节课还要学习按一行 ( 或按一列 ) 展开呢？你觉得这有什么意义吗？ 说明一个三阶行列式按一行 ( 或按一列 ) 展开后就转化为二阶行列式的运算，这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常用的方法只要学生能领悟到这一点， 马上就可以意识到任何一个行列式 ( 哪怕是 n 阶行列式 ) 最后都可以转化为二阶行列式的运算三、巩固练习教材第 99 页，练习 9.4（2）四、课堂小结(1) 余子式、代数余子式的概念；(2) 三阶行列式按一行 (或一列 )展开方法五、作业布
