三级倒立摆的研究与仿真摘要在现代工业控制领域中，我们接触的被控对象大多都是稳定，其实不稳定的 对象也是普遍存在的倒立摆属于多变、快速、非线性、强耦合、和绝对不稳定 系统倒立摆系统被认为是控制理论在科研教学中和实际实践中典型的、方便使 用的物理模型，其控制方法在军用工业、航空航天、智能机器人和普通的工业控 制过程中都有广泛的应用和重要的工程意义本文主要通过采用力学分析中的Lagrange方程来建立三级倒立摆动力学方 程，并且使用LQR方法对三级倒立摆实现了稳定的控制，运用状态全维观测器实 现了全维状态观测在MATLAB中实现了对三级倒立摆控制系统的仿真，并且从实 验结果分析得到，三级倒立摆在LQR方法的控制下达到了稳定最后对全篇论文的研究进行总结关键词：倒立摆 稳定控制 LQR 算法Research and simulation of triple inverted pendulumABSTRACTIn the modern industrial control field, we contact with most of the controlled object is stable, but unstable objects are universal. Inverted pendulum is a system which is nonlinear, multivariate, strong-coupling and unstable naturally. Inverted pendulum is a rare typical physical model which is used in teaching and researching control theory, the control methods are widely used in the military, aerospace, robotics and general industrial processes and also have important engineering significance.Though Lagrange equations in this paper by means of mechanics analysis to establish the dynamics equation of triple inverted pendulum, and using the LQR method of triple inverted pendulum stable control, using the full dimension observer realizes the full dimensional state observation. In MATLAB implements the triple inverted pendulum control system simulation, and from the experimental results, triple inverted on the control of LQR method is issued to the stable.Finally, summarizes the researching of the whole paper.KEY WORDS: Inverted pendulum stable control LQR algorithm三级倒立摆控制系统设计:倒立摆系统作为现代控制理论应用方面的一个典型实验系统，从六十年代就有许多人对 它进行研究，提出了各种控制方案。
倒立摆属于多变、快速、非线性、强耦合、和绝对不稳 定系统，通过对它的引入一个合适的控制方法使之成为一个稳定的系统，来检测控制方法对 不稳定、非线性和快速快速性系统的处理能力，而且在控制过程中，倒立摆系统能有限地反 映诸如可镇定性、鲁棒性、随机性以及跟踪等许多控制中的关键问题本次实验通对倒立摆进行受力分析使用 Lagrange 方程建立三级倒立摆的数学模型然 后利用线性二次型最优控制理论设计了三级倒立摆的控制器，并在 Simulink 中对三级倒立摆 进行了系统仿真，研究了三级倒立摆系统的结构参数与控制器性能之间的关系进而设计了 全维观测器，并进行系统仿真最后，对仿真结果进行了分析与研究三阶倒立摆示意图1，三级倒立摆数学建模建立：小车的质量：mO=1; 小车与轨道之间的滑动摩擦系数： f0 =5.0kg/s; 下摆的质量： m1=O.22kg;下摆半长： d1=O.3O4m; 下摆绕其重心的转动惯量： J1=O.OO496kgm2; 中摆的质量： m2=O.187kg;中摆半长： d2=O.226m; 中摆绕其重心的转动惯量： J2=O.OO482kgm2;上摆的质量： m3=O.16kg;上摆半长： d3=O.2m; 上摆绕其重心的转动惯量： J3=O.OO4kgm2;中、下摆中心之间的距离： l1=O.49m;上、中摆中心之间的距离：l2=0.45m;上摆和中摆之间的转动摩擦系数:f3=0.01kg/s;中摆和下摆之间的转动摩擦系数:f2=0.01kg/s;下摆和小车之间的转动摩擦系数:f1=0.01kg/s;电位器及功率放大器的增益：Ku=15Nt/Vo三级倒立摆系统lagrange方程建立，令r为水平导轨运动的位移，勺月2,^3分别为下摆、中 摆、上摆偏移竖直方向的角度。
1-1)::二：_、二：、匕时，=-T、V D —分别是系统的动能、势能和耗散能■二「=匚、••二「=「、D二二匸 (1-2)式中：〃一倒立摆的级数，这里n选择为3「一-小车和各级摆的动能:一-小车和各级摆的势能二一小车和各级摆的耗散能1 .% =毛皿严除宀押吨]十=二 _厂-f - 二门一一二：「1 1 (rd V=更/』J + ◎眈z 乂什丑(/ + I】取n% + l2sin32) +dt■d.dt(r + LtbdsG^ • & + geos叭•焉丁 亠(ijsin8t •日;+ l2sin.&2 •([d不(丁 + S百讯B] +丄泸屈■划+ ―抽划)'d -+L—(ZjisasPi +Lncos53 + /acos03)J1 . 1才/f十2m3 x=7.Xi £i（r + Lj co£&^ •0」+L2gmPh -日；+ 12gqs&2 •囱〕+（£逍机匹•必+ L谟询2 ■卩2 + /破带歯• B；）= 叫 月％ cos62 + 11coe67}吩 —ma5C^i cos^i + cos & 2 +^a cos5E}二丄"7：将上述各式-二 ' 二 代入式（1-1）得到三级倒立摆的数学模型为lg- if f —i7xn IFFJW〔內」&U』a~f（十訝（肚冉』B中爲』B；［掘r_盯一—'-=-■「_ ：： （1-3）式中:*（%』&［、歯」Sjj &2-> 爲）=K2 cos &2 ^3 GtfS 為 'K2L1 cos（0s — ^i） 叫工1右（虬一兔） — *2） 汎di站（略一日J也目IJ日（％ —円』人+机日［日-—K］S就眄•叭 一陷，讹叭•爲 一TH,抻眈爲-爲F］ + E —fC2 11^171（02 —^1）■ ^2 —TTl/Jg机（日』—B］〕■ T；K並辭1促一日 J •& 一兀 E +為 —msL3l3sin（ Sa — Ss） -3S — Fa/itaLj^asin（0a — - 汕机（內一住）•血一耳 1g（i/出十爲」=-G® -屁 gs m&L血開mO2-K2ffsiri93.Kg = Ji ~^~ 并虹况] 十"RT^!] 十 T7L Jj式（1-3）是一个非线性向量微分方程，考虑到系统工作时处于平衡位置附近运动，根据泰 勒展开式，可将式（1-3 ）在u=0平衡位置=^_ = 7： = 3： = 3- = 7：=：附近线性化，来代替式（1-3）的非线性向量微分方程。
具体线性化是忽略二次以上的项（sinU co^=1）,可求出关于■■■'■■ ■■■'＜二二二'2的线性化微分方程，而后将八二：门：二：改写为"二二n.即可得到系统的状态方程根据物理模型的实际测量数据，可求得平衡点处的三级倒立摆的系数矩阵为'1.5670 0.2369 0.1143 0.1600'm D・2369 0,1086 &.0560 0.0183M(OQO)= 0 1143 Q 056D 0.046B 0.EJ144.0,1600 0.0183 0.0144 0.0104.0z 、0N(0,0Q0Q0)= °_02,32170 01.119S000,3136.0 0L0」由于矩阵比较复杂，因此采用MATLAB进行矩阵运算，可以解得' ---阵-0.6812 1.2734 -4.1761 14.01811.2734 21,7825 - 19,7611 - 50,6119-4.1761 -19.7611 43.1177 39.3680L14.0181 -59.6119 39.3680 -120,0776.所以，式(1-3)的线性化微分方程为一忆一M-1==—:::f ；；+ JW-1(OjOjO)jVrcoi00-0-■it(1-4)式中:P0000心0000K辺0_000fc2gda.巒=—3W咗+37f -欣+FM—舟 n-0-(1-5)■ r ''1 0 9 0'Tr0 19 0日】A T\%0-110ZZ JE込_^3 一 屯-.0 0 -1 1.故式（1-3）可以改写为则由式（1-5）可得:式中：(1-6)定义状态变量…为：r心r T q日2 _日1^3 —T _fa5吕1日;—0±-XB-・4g — 3丁・421 =™-1(0/0/0)jV7,-1A22 =—他一迪仙）A'1-0-根据前面给出物理模型的实际测量数据，可以求得状态方程（1-6）中的系数矩阵为:00a01.0000000-00a001.00000900a0001.00009A=00a00001.000002,9564-4.67634.3961 -3.4059-0.0750-0,23640.1319050.5728 -221279-9.59996.36680.9394 --0.3069 -。