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1、中学九年级数学上（锐角的三角函数）义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品3初中数学解直角三角形单元作业一、 单元信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学九年级第一学期沪科版第23章解直角三角形单元组织方式 自然单元重组单元课时信息序号课时名称对应教材内容1锐角的三角函数正切23.1锐角的三角函数(P112-114)2锐角的三角函数正弦和余弦23.1锐角的三角函数(P115-116)3特殊角的三角函数值23.1锐角的三角函数(P117-118)4互余角三角函数的关系23.1锐角的三角函数(P119)5一般锐角的三角
2、函数值23.1锐角的三角函数(P120-122)6解直角三角形23.2 解直角三角形及其应用(P124-125)7解直角三角形的应用1（仰角与俯角）23.2 解直角三角形及其应用(P126-127)8解直角三角形的应用2（方位角与方向角）23.2 解直角三角形及其应用(P127-128)9解直角三角形的应用3（坡度与坡角）23.2 解直角三角形及其应用(P128-129)二、单元分析（一）课标要求（2021年版）1. 内容标准利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）， 知道30o，45 o，60 o角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已
3、知三角函数值求它的对应锐角；能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题。- 10 -2. 课程目的课标在“知识技能”方面指出：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程， 理解代数式、方程、函数；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。在“数学考虑”方面指出：通过用代数式、方程、不等式、函数等表示数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在研究图形性质过程中，进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。在“问题解决”方面指出：初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决
4、简单的实际问题，增强应用意识， 提高实践能力；经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。在“情感态度”方面指出：积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲； 在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。3. 核心素养数学核心素养包括以下几个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。中学阶段是培养学生数学核心素养的一个重要时期， 而三角函数、解直角三角形就是一个很好的载体。数学运算能力作为初中学生数学核心素养的基本功，它既是学生数学学习的核心能力，也是教师数
5、学“双基”教学的关键组成部分，学生数学运算能力的培养和提升是初中数学教学的硬核标准，真可谓是重中之重。本单元涉及的数学运算有：特殊角的三角函数值参与的实数运算、三角函数中的边角关系计算、数学建模中运用三角函数建立方程的求解计算等，这些运算方法和技能是学生必须掌握的，是各类测试考查的重要方面，所以应重视学生运算能力的培养。数学建模，就是将实际问题抽象成纯数学问题而建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。直观想象这一数学核心素养形成的过程，是“数学化”的过程，即探究的过程，思考的过程，抽象的过程，预测的过程，推理的过程，反思的过程。数学建模和直观想象的思想是非常重要的数学思
6、想，而解直角三角形应用（如仰角俯角、方位角、坡度等）作为考查应用能力的题目一直是中考的热点，这类问题都可以通过建立三角形等模型，运用三角形的相关知识理解题目给出的示意图或自己画出示意图，找出要解的直角三角形， 从而解决实际问题。（二）教材分析1. 知识网络2. 内容分析本单元内容包括:“锐角的三角函数”、“特殊角的三角函数值”、“解直角三角形及其应用”三个方面。直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用广泛的关系之一，它是联系几何与代数的桥梁,在解决现实问题中有着重要的作用。“三角形”、 “勾股定理”、“相似形”等单元已经让学生了解了直角三角形的概念，知道了直角三角形角与角、边与边之间的关系
7、，掌握了三角形的相似和推理证明等知识，为本单元的学习打下了一定的基础。因此，本单元的内容是对直角三角形的边与角之间关系的进一步探究和应用， 是相似的延续和升华。同时, 解直角三角形还有利于数形结合，通过这一单元的学习, 学生对直角三角形的概念有较为完整的认识。另外有些简单的几何图形可分解为-些直角三角形的组合, 从而也能用本章的知识加以处理，以后学生学习斜三角形的余弦定理,正弦定理和任意三角形的面积公式时,也要用到解直角三角形的知识，因此，它又是沟通初中数学和高中数学的一条通道。本单元的内容是直角三角形知识的重点部分之一，也是解决数学问题和利用数学知识解决实际问题的有效工具。（三）学情分析本单
8、元是学生在学习了函数、数的开方、二次根式、勾股定理、相似三角形基础上学习的，主要由锐角三角函数和解直角三角形两部分内容构成。通过前面的学习，学生已认识了直角三角形中角的关系（直角三角形两个锐角互余）和边的关系（勾股定理），本单元的内容是对直角三角形的边与角之间关系的进一步探究和应用，是相似的延续和升华。锐角三角函数中的“函数”，是学生理解的难点，因为锐角三角函数与学生以前所学的一次函数、二次函数及反比例函数有所不同，它揭示的是角度与数值（线段比值）的对应关系。通过相似三角形得出结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与邻边的比始终是一个常数，这就揭示了锐角与比值的对应关系，让学生对变量的性质
9、以及变量之间的对应关系有更深刻的认识，加深对函数概念及数学本质的理解，通过学习有利于学生对函数的理解更加完善。解直角三角形的应用也是本单元学生掌握的重点和难点，解直角三角形中的知识被广泛运用于测量、建筑、工程技术与物理中，主要是用来测量高度、宽度与角度，将实际问题贯穿本单元，充分体现三角函数与现实生活的密切联系。通过应用让学生了解在有关直角三角形的问题时，光靠过去学过的勾股定理是不够的，三角函数有着不可替代的重要作用。本单元是三角学的最基础内容，也是今后进一步学习三角学的必要基础，为今后高中阶段深入学习三角函数做好知识储备和积累，因此本单元在中学数学中有着承上启下的作用。（四）重难点分析解直角
10、三角形的重点是锐角三角形的概念和直角三角形的解法。特殊锐角三角函数值，由于其应用的广泛与基础，要让学生牢记，即给出特殊的锐角，能说出它的三个三角函数值；反过来，给出特殊锐角的三角函数值，能求出这个角的度数。本单元的难点是锐角三角函数的概念，因为三角函数的概念里隐含着角度与线段比值之间一对应的函数思想，并且用几个符号 sinA（直角三角形中一个锐角为 A ），cosA，tanA 来表示各个比值，同时这几个符号所表示的两条线段的比是不能颠倒、是有严格规定的，这是学生第一次接触到这样的表示。此外，只有正确理解锐角三角函数的概念，才能准确把握直角三角形中边、角的关系，也才能利用这些关系来解直角三角形。
11、所以说，对锐角三角函数概念的理解，既是学习本单元的难点，也是学好本单元的关键所在。三、单元学习与作业目标1. 掌握正弦、余弦、正切的概念；2. 知道并熟记特殊角 30，45，60角的三角函数值并能进行简单的代数计算；3. 能根据已知角度求三角函数值以及已知三角函数值求角的度数；4. 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题；5. 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。四、单元作业整体设计思路分层设计作业。每课时均设计 “基础性作业”（面向全体，体现课标，题量 3-4 大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，题量 2-3 题，要求学生有选择
12、的完成）。具体设计体系如下：五、课时作业第一课时（锐角的三角函数正切）作业1（基础性作业）1. 作业内容（1）在 中， ，各边都扩大到原来的 倍，则 的值（）A. 不变B. 扩大到原来的 倍C. 缩小到原来的 1D. 不能确定5（2） 如 图 ， 在 中 ， ， 则 （）13mG5mEFA. 5B.1212C.55D. 121313（3） 在 中 ， ， ，则 （4）某人从水平地面开始沿着有一定坡度的坡面前进了 ，此时他与水平地面的垂直距离为 ，则这个坡面的坡度 2. 时间要求10分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：
13、答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。3. 评价设计作业评价表4. 作业分析与设计意图第（1）题考查正切的定义，锐角的正切其实是直角三角形中两直角边的比， 它的值是一个比值，只与角的大小有关，与所在的直角三角形边的长短无关，本题加
14、深学生对正切定义和三角函数中的“函数”的理解；第（2）题仍然考查正切的定义，在直角三角形中已知斜边和一直角边，可由勾股定理求另一直角边， 再根据正切定义求比值；第（3）题以等腰三角形为背景求正切值，需要将等腰三角形通过作垂直或高构造直角三角形，在直角三角形中按正切定义求比值，“化斜为直”是本章三角函数的常用作法，三角函数就是在直角三角形中建立边角关系的，要让学生熟悉这一基本方法；第（4）题是正切的应用：坡度与坡角问题， 坡度是竖直高度与水平长度的比值，是坡角的正切值，“沿着有一定坡度的坡面前进了 ”，就是斜边为 10，“与水平地面的垂直距离为 ”，就是一直角边为 ，这样本题与第（1）题解法相似，先有勾股定理求出另一直角边，在根据坡度的定义求出比值，从而解决问题。5. 参考答案与解析（1）A（2）A（3） 125【解析】解：如图，过点 作 于点 ，易知 ，在 中 ， ， ， 则 ， tanB = AD = 12 BD5（4） ： 作业2（发展性作业）1. 作业内容（1） 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算 时， 如 图 ， 在 中 ， ， ， 延 长 使 ， 连 接 ， 得 ，假设 ，所以tan15o = AC =1CD
