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1、132极大值与极小值【明目标、知重点】1. 了解函数极值的概念，能从几何方面理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及函数在某一点取得极值的条件.3.掌握用导数的方法求函数的极值.填要点T己疑点1 极值的概念(1)极大值如图，函数y = f(x)在点x = b处的函数值f(b)比它在点x = b附近其他点的函数值都大， f (b) = 0；而且在点x = b处附近的左侧f( x)0，右侧f (x) 0，则把f ( a)叫做函数y=f(x) 的极小值函数的极大值、极小值统称为函数的极值.2 极大值与导数的关系xX1左侧X1X1右侧f(X)f (x)0f (x) = 0f(x)0f(x)
2、增(/)极大值f(X1)减()3.极小值与导数之间的关系XX2左侧X2X2右侧f(X)f (x)0f(x)减(/)极小值f(X2)增(/)探要点究所然情境导学在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题. 但函数在定义域内某一点 附近，也存在着哪一点的函数值大， 哪一点的函数值小的问题， 如何利用导数的知识来判断 函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容.探究点一函数的极值与导数的关系 思考1如图，表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数 图象，观察发现，t = a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.函数h(t)在此点的导数是什么？此点附近的
3、图象有什么特点？相应 地，导数的符号有什么变化规律?答 函数h(t)在点t = a处h(a) = 0.在t = a的附近，当th(t) =-4.9 t2+ 6.5 t + 10 的函数h(t)单调递增，h(t)0 ； 当t a时，函数h( t)单调递减，h(t)0.思考2如图观察，函数y= f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y = f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y= f(x)的导数的符号O 8 h有什么规律？答 以d、e两点为例，函数 y = f (x)在点x= d处的函数值f (d)比它在点x = d附近其他点 的函数值都小，f
4、(d) = 0；在x = d的附近的左侧f (x)0.类似地，函 数y= f (x)在点x = e处的函数值f (e)比它在x= e附近其他点的函数值都大，f( e) = 0； 在x= e附近的左侧f(x)0，右侧f (x)0，得 x2; 由 f (x)0，得2x2.当x变化时，f ( x) , f(x)的变化情况如下表:可导，且在x = 0处满足f (0) = 0，但由于当x0时均有f (x)0 , 所以x= 0不是函数f (x) = x3的极值点.1 3例1求函数f (x) = x 4x+ 4的极值.32解 f ( x) = x 4.x(m， 2)2(2,2)2(2 ,+)f (X)+00
5、+f(x)单调递增283单调递减43单调递增由表可知：当x =-2时，f(x)有极大值f( 2) =-3；4当x= 2时，f(x)有极小值f(2) = 3.反思与感悟 求可导函数f (x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f (x)；求方程f ( X)= 0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格检 测f( x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f( x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x)在这个根处无极值.3跟踪训练1 求函数f(x) = + 3ln x的极值
6、.x3解 函数f (x) = -+ 3ln x的定义域为(0 ,+),x,333 x1f ( x)=二+=2.x x x令 f (x) = 0，得 x= 1.当x变化时，f(x)与f (x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1 , +m)f (X)0+f(x)单调递减3单调递增因此，当x= 1时，f(x)有极小值f(1) = 3.探究点二已知函数极值求参数的值思考已知函数的极值，如何求函数解析式中的参数？答解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程， 从而求出参数的值.需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得 极值的必要条件，所以必须对求出
7、的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件.例2 已知f (x) = x3 + 3ax2+ bx+ a2在x= 1时有极值0，求常数a, b的值.解因为f (x)在x = 1时有极值0,2且 f (x) = 3X + 6ax+ b,1 0,1 0,a= 2, 或心9.3 6a + b = 0, 即= + 3ab+a2=0.a= 1,解之得ib= 322当 a= 1, b= 3 时，f (x) = 3x + 6x+ 3= 3(x + 1) 0, 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.当 a= 2，b= 9 时，2f (x) = 3x + 12x+ 9 = 3(x + 1)( x+ 3)
8、.当x ( 3, 1)时，f (x)为减函数；当x ( 1,+)时，f (x)为增函数，所以f(x)在x= 1时取得极小值，因此 a= 2, b= 9.0和极值两个条件列反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值处导数为方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点取得极值”的充要条件，所以利用待定系数法求解后,必须验证根的合理性.2跟踪训练2 设当x= 1与x=2时，函数f (x) = aln x+ bx + x取得极值.(1)试确定常数a和b的值； 判断当x= 1, x= 2时函数f(x)取得极大值还是极小值，并说明理由.2解(1) v f(x) = aln
9、 x + bx + x,af (X)= a+ 2bx+1.由极值点的必要条件可知：f (1) = f=o,a a+ 2b+ 1 = 0 且+ 4b + 1 = 0,2 1解方程组得，a= 2, b= 1.3 62 1 2由(1)可知 f (x) = ?ln x x + x,21 2且函数f (x) =;In x+ x的定义域是(0，+m),36,2 !1x 1 x2f(X)= 3x 3x+1 = 3x当 x (0,1)时，f (x) v 0; 当 x (1,2)时，f (x) 0;当 x (2 ,+8)时，f ( x) v 0;所以，x= 1时函数f(X)取得极小值，x= 2时函数f (x)取
10、得极大值.探究点三函数极值的综合应用3例 3 设函数 f (x) = x - 6x+ 5, x R(1)求函数f(x)的单调区间和极值； 若关于x的方程f (x) = a有三个不同的实根，求实数 a的取值范围.2 解 f(x) = 3x -6，令 f (x) = 0,解得 Xi = J2, X2= 2.因为当 x 2或 x 0;当2 x 2时，f (x) 0.所以，f (x)的单调递增区间为(一8,冬：2)和(/2,+8);单调递减区间为(一2,2).当x=2时，f (x)有极大值5+ 4 2;当x= , 2时,f (x)有极小值5 4 2. 由(1)的分析知y=f(x)的图象的大致形状及走向
11、如图所示.所以，当 5 4 .2a 5+ 4 2时，直线y= a与y= f (x)的图象有三个不同的交点， 即方程f (x) = a有三个不同的实根.反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法. 它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.跟踪训练3若函数f (x) = 2x3 6x + k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围.3解 f(x) = 2x 6x + k,则 f ( x) = 6x2 6,令 f (x) = 0,得 x= 1 或 x= 1 ,可知f (x)在(1,1)上是单调减函数，f (x)在(8, 1)和(1 ,
12、+8 )上是单调增函数.f (x)的极大值为f ( 1) = 4 + k,f (x)的极小值为f(1) = 4 + k.要使函数f(X)只有一个零点，只需4+ k0(如图所示)即 k4. k 的取值范围是(一8, 4) U (4 ,+).当堂测查疑缺1. “函数y = f(x)在一点的导数值为 0”是“函数y= f (x)在这点取得极值”的 条件.答案必要不充分解析 对于 f (x) = X3, f (x) = 3x2, f (0) = 0,不能推出f(x)在x = 0处取极值，反之成立.2 下列函数存在极值的是 .(填序号)1 y = x : y= x ex; y= x3+ x2+ 2x 3; y= x3.x答案1解析 中f ( x)=二，令f( x) = 0无解，x中函数无极值. 中 f( x) = 1 e ,令 f( x) = 0 可得 x= 0.当 x0，当 x0时，f (x)0. y = f (x)在 x= 0 处取极大值，f(0) = 1.2 中 f(x) = 3x + 2x+ 2, = 4 24= 200. y=f (x)无极值也无极值.323.
