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1、1.4 随机变量的特征函数引言：分布函数：反映随机变量的统计规律性。 数字特征：反映、掌握分布函数的某些特征。矩是最主要的特征，但随着矩的阶数的增高，计算机较麻烦，寻求一种有效的方法来计算。 特征函数：一种计算各阶矩的有效工具。特别是计算、处理多个随机变量，特征函数显示其优越性一。141 特征函数的定义 (1) 设是定义在概率空间上的随机变量，它的分布函数为，称的数学期望为的特征函数，记为。当为离散型随机变量时，其特征函数为：当为连续型随机变量时，其特征函数为：(2) 利用特征函数求概率密度函数证明：利用傅里叶变换与反变换关系可证明。举例：例1：求标准正态分布的特征函数。142 特征函数的性质
2、 (1) (2) 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积，即：若，式中为个两两相互独立的随机变量，则(3) 求矩公式：(4) 特征函数的级数展开143 特征函数应用举例例1设与都服从标准正态分布，且相互独立，求的概率密度函数。解：用特征函数方法是最简单的方法。因为，所以，同样，由于与相互独立，于是即：例2：设随机变量在是均匀分布的，即，求的概率密度函数。解：， 15 随机过程的概念及分类引言：随机变量是不确定事件的量化函数，变量由样本点决定，但同时还随时间变化而变化，即：，简记为。 更一般地，在试验过程中，随机变量有可能随某个参量(不一定是时间)的变化而变化。我们把
3、这种随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数，而把以时间作为参变量的随机函数称为随机过程。151 随机过程的定义定义1：设随机试验的样本空间是，若对于每个元素，总有一个确定的时间函数，与它相对应。这样对于所有的，就可以得到一族时间的函数，将其称为随机过程。定义2：对于每个特定的时间，都是随机变量，则称是随机过程。对随机过程的理解：在以为横轴，为纵轴的坐标系中，表现为有一定统计规律的曲线族(多条曲线，主要原因是因为的取值不同)。当固定在时，可随机地取值(有分布规律性)。如图： X轴 轴 具体有四种不同的情况：(1) 当，都是可变量时，是时间函数族；(2) 当是可变量，固定时，是一个确定的时间函数
4、；(3) 当固定，是可变量时，是一个随机变量；(4) 当固定，固定时，是一个确定值。152随机过程的分类一、 按时间和状态分：(时间：的取值情况，状态：的取值情况。)连续型随机过程：当固定时，是连续型随机变量。离散型随机过程：当固定时，是离散型随机变量。连续型随机序列：当取定时，是连续型随机变量，但只等间距取有限或可数个值。离散型随机序列：当取定时，是离型随机变量，但只等间距取有限或可数个值。二、 按样本函数的形式分：不确定随机过程：如果任意样本函数的未来值，不能由过去观测值准确预测。确定的随机过程：如果任意样本函数的未来值，可以由过去观测值准确预测。即只要初值确定，其它值便确定，如 。三、按
5、随机过程的统计特性、分布函数的不同进行分类 平衡随机过程 高斯过程 马尔可夫过程 独立增量过程16 随机过程的统计特征当的取定后，是一随机变量。对于随机变量，要研究它的三大要素：分布函数（概率密度）、数字特征（期望、方差）、特征函数。161 随机过程的概率分布一、一维概率分布 设随机过程在任一特定时刻的取值是一维随机变量，记称为随机过程的一维分布函数。 如果对于的偏导数存在，则有称为随机过程的一维概率密度。二、二维概率分布设随机过程在任意两个时刻、的取值和构成二维随机变量(，)，它们的联合概率是取值、和时刻、的函数，记称为随机过程的二维分布函数。 如果对于、的二阶混合偏导数存在，则有称为随机过
6、程的二维概率密度。三、多维概率分布设随机过程在任意两个时刻，的取值,构成多维随机变量()，它们的联合概率是取值,和时刻,的函数，记称为随机过程的多维分布函数。 如果对于,的阶混合偏导数存在，则有称为随机过程的多维概率密度。162 随机过程的数字特征一、数学期望随机过程当(取定)时，是一随机变量，因此可以计算数学期望。定义：称为随机过程的数学期望，它是时间的确定函数。 数学期望的几何描述：曲线族的中轴线。如图： 二、均方值与方差定义：随机过程的二阶原点矩定义为称为随机过程的均方值。二阶中心矩记作，称之为随机过程的方差。方差的几何描述。称为中心化的随机过程。三、自相关函数两个随机过程和可以有相同的
7、期望和方差，但可以是完全不同类型的随机过程。自相关函数(简称相关函数)就是用来描述随机任意两个时刻的状态之间的内存联系的重要特征。定义：实随机过程的自相关函数定义为它反映了在任意两个时间的状态之间的相关程度。如果，则实随机过程的自协方差函数定义为当时，17 随机过程的特征函数一、一维特征函数随机过程在任一时刻的取值是一维随机变量。的特征函数定义为：式中，为过程的概率密度函数。与构成一对会里叶变换，则有特征函数的用途：可以用来求数字特征：二、二维特征函数随机过程在任意两个时刻，的取值构成二维随机变量，它的特征函数为：与构成一对会里叶变换：二维特征函数的作用：用求自相关作业：p 181.5，1.6P35 2.1, 2.3, 2.4, 2.7, 2.8, 2.10
