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1、利用函数性质判断方程解的存在 渭南市陇海中学 刘麦玲尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是利用函数性质判断方程解的存在。下面我将从教材的地位与作用、学情分析，教学目标与重难点，教法和学法指导、教学过程设计、板书设计六个方面来阐述我对本节课的构思。教材的地位与作用：本节课是北师大版高中课程标准实验教科书必修1第四章函数应用第一节函数与方程第一课时的内容，是高中数学的新增内容，是近年来高考的热点。是在学生系统地掌握了函数的概念及性质，一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质的基础上，进一步探究从函数的特征判断方程解的存在性及解的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定
2、方法。为下一节“二分法求方程的近似解”提供了基础因此本节内容具有承前启后的作用。本节课是培养学生“等价转化思想”、“数形结合思想”、 “方程与函数思想”的优质载体.学情分析：1、现有知识储备：基本掌握了基本初等函数的图像和性质及一次，二次方程的解法，但是对一元二次函数与相应方程的联系认识不全面，也没有上升到一般的函数与相应方程的层次.2、现有能力特征：具有一定归纳、概括、类比的能力但习惯跟着老师学习，缺少自主学习能力.3、现有情感态度：对高次或超越方程的解法具有强烈求知欲和探究的积极性.4、新知学习过程可能存在问题：对函数零点概念本质的理解，学生缺乏函数的观点，也有可能会存在转化的困难；对零点
3、存在条件的理解不够透彻.5、程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与成度很差的学生占少数.根据本课教学内容的特点以及新课标和考纲对本节课的教学要求，结合我校学生实际学情我特制定以下教学目标：教学目标：知识与技能：（1）结合具体函数的图像，了解函数零点的概念 （2）理解方程的解和函数零点的关系，体会函数与方程的有机联系，即求方程f(x)=0的实数解就是求函数f(x)的零点 （3）能够利用函数性质判定方程解的存在性，掌握判断函数的零点存在的方法过程与方法：培养学生预习的良好习惯；培养学生独立思考、自主观察、合作探究、归纳概括的能力；树立数形结合，函数与方程相结合的思想；让学生感悟由具体到抽
4、象、由“特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.情感态度与价值观：培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯，初步体会事物间相互转化的辩证思想。教学重点：理解方程的解与函数零点的关系，体会函数与方程的思想，掌握方程解的存在性的判定方法。教学难点：对方程解的存在性的判定的理解，结合图像求解零点问题重、难点突破措施：（1）由熟到生，有特殊到一般，启发引导创设情境中，由熟到生解方程开题，扣人心弦，层层探究，步步引导，激发热情。（2）数形结合，分类讨论通过简单实例，数形结合，探究总结规律；利用分类讨论的数学思想突破重难点。（3）合作探究，分层提高利用合作探究、分层训
5、练和分层作业达到按需施教的效果。教法与教学用具：教法上，以问题为纽带，从特殊到一般，激发学生积极主动地进行探索；同时向学生渗透问题意识，培养学生发现问题、解决问题、及归纳总结和逻辑推理的能力。设置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造和成功的机会，采用 “提出问题引导探究得出结论实际应用”的教与学模式.借助多媒体直观演示手段使教学更富趣味性和生动性。学法指导：以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，让学生通过课前阅读教材、自主学习、动手画图、思考，并相互讨论进行探索（自主探究 观察发现 合作交流 归纳总结）教学过程设计（课前检查学生预习学案完
6、成情况，对学生预习过程中存在问题做到心中有数）一、设问激疑，引出新知问题1 判断下列方程是否有解？（寻求新的解决方法，引出课题）（1）； （2）；（3）； （4） . 教师点题：方程的解和函数的性质有重要的联系，本节课我们就来探讨利用函数性质判定方程解的存在问题.（书写课题）问题2（1）方程的解为 ，函数的图象与 x 轴有 个交点，交点的横坐标为 . （2）填表，同时观察图像与x轴的交点个数，交点横坐标，与相应方程的解有什么联系？（体会两个二次的联系）一元二次方程方程的解二次函数函数的图像（简图）图像与轴交点的横坐标结论一：函数图像与轴交点的横坐标是相应方程的解，与x轴的交点个数是相应方程解的
7、个数.问题3 若将上面特殊的一元一方程推广到一般的一元一方程，一元二次方程推广到一般的一元二次方程，上述结论是否仍然成立？方程的根函数的图象（简图）图象与轴交点的横坐标结论：成立问题4 思考：对于一般的函数与方程是否也有上述的结论成立呢？（为函数零点概念的引出做好铺垫，学生有点疑惑）继续完成下列练习：（1） 方程的解为 ，函数的图象与 x 轴有 个交点，交点的横坐标为 .（2）方程的解为 ，函数的图象与 x 轴有 个交点，交点的横坐标为 .结论：成立二、启发引导，形成概念1.函数的零点的定义：我们把函数的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点 问题5 思考：函数y=f(x)的零点、方程f(x
8、)=0的实数根、函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？ 结论二：函数的零点（或零点个数）函数图像与x 轴交点的横坐标（或与x 轴交点的个数）方程的解（或解的个数）巩固练习(加深对概念的理解)1.函数的零点是（ ）A.（-1，0），（3，0）； B. x= -1； C. x= 3； D. -1和32.求下列函数的零点. 方法提升：（1）零点是一个实数而不是一个点，当函数自变量取这个实数时函数值为零；（2）求函数的零点的方法，解方程法、图像法;（强调化归与转化的思想）(3)不是所有函数都有零点. 2.利用函数性质判断函数零点方法的探究：观察二次函数的图像，填空：（1）在区间2
9、,1上，有 f(2)f(1) 0，则函数f(x)在区间（-2,1)内有 个零点； （2）在区间2,4上，有f(2)f(4) 0， 则函数f(x)在区间（2,4)内有 个零点； （3）在区间-2,4上，有f(-2)f(4) 0， 则函数f(x)在区间（-2,4)内有 个零点； （4）在区间4,5上，有f(4)f(5) 0， 则函数f(x)在区间（4,5)内有 个零点； 问题6 完成以上各题的过程中你有何发现？发现：在区间a,b上，若.f(a)f(b)0则此函数在区间a,b上有零点.教师追问：一定吗？举例函数在区间-2,3上.从而的出：在区间a,b上，若函数f(x)的图像是连续的且f(a)f(b)
10、0则此函数在区间a,b上有零点.问题7 满足上述两个条件，能否确定零点个数呢？观察函数f(x)的图像 1.f(a)f(b) 0, 函数f(x)在区间a,b上 有 个零点. 2.f(b) f(c) 0，函数f(x)在区间b,c上有 个零点. 3. f(c)f(d) 0，函数f(x)在区间c,d上有 个零点. 4. f(a)f(d) 0，函数f(x)在区间a,d上有 个零点. 归纳总结出：方程的解的存在定理：若函数在闭区间a,b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即，则在区间内函数至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解.巩固练习1.判断下列结论是否正确(定理辨析)：（
11、1）若f(a)f(b)0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 （ ）（2）若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点则f(a)f(b)0 （ ）（3）若函数的图像在区间a,b上是连续曲线且f(a)f(b)0 则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点（ ）（4）若函数的图像连续，且在区间上，则在区间上没有零点 （ ）ab设计意图：强调函数零点存在定理的三个注意点： （1） 函数是连续的。 （2） 定理不可逆 (3 )至少存在一个零点2.下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 四、应用举例(巩固提高)：例1判断下列方程在给定区间上是否有解？（引导学生自主完成）
12、（1） （2）， 方法提升：判断方程在给定区间解的存在性的判定方法：构造函数计算区间端点值得出结论例 2 教材例3（函数零点存在性定理的应用）例 3 求函数f(x)=lnx +2x-6的零点的个数.（能力提高）方法1：利用方程的解的存在性定理和该函数的单调性可以得出函数在定义域上有且仅有一个零点方法2：构造两个函数的交点，得出唯一解的结论，体会函数和方程之间相互转化的思想四、课堂小结：（学生谈收获教师补充）1.知识点小结： （1）函数零点与方程解的关系的关系.（2）判断函数零点存在的方法：解方程，根据方程解的情况找函数零点；当无法解方程时，利用函数零点的定义进行判定（作出函数图像）；利用函数零点存在性定理.（3）判断方程解存在性的方法2.思想方法小结：数形结合、转化的思想五、作业布置：必做题：教材第119页习题4-1 A组第1,2题选做题在(0,1)内恰有一解，求实数a的取值范围。中，,则函数的零点个数为多少个？探究题：本节课我们解决了方程，的解的存在性问题，那么这个解是多少？如何来求解呢？请预习下一节课内容。作业为预习下一节课内容六、板书设计：利用函数性质判定方程解的存在一、函数的零点的概念：二、方程的解的存在性定理：例1例2例3多媒体投影区
