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1、平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点：重点：平行线的判定性质。难点：平行线的性质与平行线的判定的区分 掌握推理论证的格式。二、例题： 这部分容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、错角或同旁角。解答这 类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加 必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。上述类型题目大致可分为两大类。 一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”， 即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行， 解此类题目必须
2、要掌握好平行线的判定方法。例1.如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若Z1 = Z2,Z2+Z3=180，求证：Z1 = Z7分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线 平行解决其它角的关系。Z1与Z7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a/c。法（一）证明：Vd是直线（已知）.Z1 + Z4=180 （平角定义）VZ2+Z3=180,Z1 = Z2 （已知）AZ3=Z4 （等角的补角相等）.a/c （同位角相等，两直线平行）AZ1 = Z7 （两直线平行，同位角相等）法（二）证明：VZ2+Z3=180，Z1 = Z2 （已知）.Z1 + Z3=180
3、（等量代换）VZ5=Z1，Z6=Z3 （对顶角相等）.Z5+Z6=180 （等量代换）. a/c （同旁角互补，两直线平行）AZ1 = Z7 （两直线平行，同位角相等）。例 2.已知如图，Z1 + Z2=180,ZA=ZC, AD 平分 ZBDF,求证：BC 平分 ZDBE。ZC=ZA于是可得ZA=ZEBC。因此又可得AD/BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推出 ZEBC=ZDBCo证明：Z2+ZBDC=180 （平角定义）又VZ2+Z1=180 （已知）AZBDC=Z1 （同角的补角相等）.AE/FC （同位角相等两直线平行）AZEBC=ZC （两直线平行错角相等）又VZA=ZC （已
4、知）.ZEBC=ZA （等量代换）.AD/BC （同位角相等，两直线平行）.ZADB=ZCBD （两直线平行，错角相等）ZADF=ZC （两直线平行，同位角相等）又 V DA平分ZBDF （已知）.ZADB=ZADF （角平分线定义）.ZEBC=ZDBC （等量代换）.BC平分ZDBE （角平分线定义）说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法，见到 “平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题 能得心应手，灵活自如。三、小结：证明角相等的基本方法
5、1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）两直线平行，同位角相等；错角相等；同旁角互补。以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样 使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。首先必须分析，在题设中给出了哪些条件, 与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么 关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。例 3，如图Z1 = Z2=ZC，求证ZB=ZCo分析：题设中给出三个相等的角，其中Z2和Z
6、C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角， 由Z2=ZC则DE/BC。再看题中要证明的结论是ZB=ZC，由于ZC=Z1，所以只要证明Z1 = ZB，而Z1与ZB是两条平行直线DE，BC被直线AB所截构成的同位角，Z1 = ZB是很显然的, 这样我们就理顺了从已知到求证的途径：证明：VZ2=ZC （已知），.DE/BC （同位角相等，两直线平行），AZ1 = ZB （两直线平行，同位角相等），又VZ1 = ZC （已知），.ZB=ZC （等量代换）。例 4、已知如图，AB/CD，AD/BC，求证：ZA=ZC,ZB=ZD。分析：要证明ZA=ZC，ZB=ZD，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构
7、成同位角, 也不是错角或同旁角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例 10 一样通过等角进行转化，从题设条件出发，由AB/CD，且AB与CD被直线BC所截，构成了 一对同旁角，ZB、ZC,因此ZB+ZC=180o，同时ZB又是另一对平行线AD、BC被直线AB所 截，构成的一对同旁角ZB、ZA,ZB+ZA=180。，通过ZB的中介，就可以证明得ZA=ZC。同 理，也可得到ZB=ZD，整个思路为：AB / CD ZB +ZC =lSOal=ZCAD/EC ZB +ZA =130J证明：AD/BC （已知），. ZA+ZB=180o （两直线平行，同旁角互补） VAB/C
8、D （已知），.ZB+ZC=180。（两直线平行，同旁角互补）， .ZA=ZC （同角的补角相等）， 同理可证ZB=ZD。例5、已知如图，AD丄BC于D，EG丄BC于G,ZE=Z3,求证：Z1 = Z2。分析：要证明Z1 = Z2,而从图中所示的Z1和Z2的位置来看，根据题设或学过的定义、 公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下Z 1、Z2与周 边各角的关系，我们看到直线AD与GE被直线AE所截，形成同位角Z1、ZE；被AB所截，形 成错角Z2、Z3；而题设明确告诉我们Z3=ZE，于是目标集中到证明AD/GE，根据题设中AD 丄BC, EG丄BC,我们很容易办到
9、这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序：fzi = ZE =AJDf/ EG Z2=Z3 Z1 = Z2EGLBC =4=牟证明：I AD丄BC于D （已知），. ZADC=90o （垂直定义） ，TEG丄BC于G （已知）， .ZEGD=900 （垂直定义），.ZADC=ZEGD （等量代换），.EG/AD （同位角相等，两直线平行）， .Z1 = ZE （两直线平行同位角相等）， Z2=Z3 （两直线平行错角相等）， 又VZE=Z3 （已知），.Z1 = Z2 （等量代换）。四、两条直线位置关系的论证。两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行，证明两条直线垂直，证明三点在同一直
10、线上。1 、学过证明两条直线平行的方法有两大类（一）利用角；（ 1 ）同位角相等，两条直线平行；（2）错角相等，两条直线平行；（3）同旁角互补，两条直线平行。（二）利用直线间位置关系：（ 1 ）平行于同一条直线的两条直线平行； *（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。例 6、如图，已知 BE/CF，Z1 = Z2，求证：AB/CD。分析：要证明AB/CD，由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对错角ZABC和Z DCB，只要证明这对错角相等，而图中的直线位置关系显示，ZABC=Z1 + ZEBC，ZBCD=Z2+ ZFCB,条件中又已知Z1 = Z2，于是只要证明ZEBC=ZBCFO证明
11、：I BE/CF （已知），.ZEBC=ZFCB （两直线平行，错角相等）TZ1 = Z2 （已知），.Z1 + ZEBC=Z2+FCB （等量加等量其和相等），即ZABC=ZBCD （等式性质），.AB/CD （错角相等，两直线平行）。例 7 如图 CD丄AB, EFAB，Z1 = Z2，求证：DG/BC。分析：要证明DG/BC，只需证明Z1 = ZDCB，由于Z1 = Z2，只需证明Z2=ZDCB，Z2与ZDCB又是同位角，只需证明CD/EFo根据题设CD丄AB, EF丄AB，CD/EF，很容易证得，这样整个推理过程分成三个层次。CDLABEFLABI（平行线的判定）(1)在这三个推理的环
12、节中，平行线的判定和性质交替使用，层次分明。证明：TCD丄AB于D （已知），.ZCDB=90。（垂直定义），.EF丄AB于F （已知），.ZEFB=90。（垂直定义），.ZCDB=ZEFB （等量代换），.CD/EF （同位角相等，两直线平行）， AZ2=ZDCB （两直线平行，同位角相等） 又VZ1 = Z2 （已知），.Z1 = ZDCB （等量代换），.DG/BC （错角相等，两直线平行）。说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归 结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、错角或同旁角，设法证明这一组同位 角或错角相等，或同旁角互补。而
13、证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。因此，交替使用 平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个：（ 1 ）两直线垂直的定义（ 2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。（即证明两条直线的夹角等于90o而得到。）例8、如图，已知EF丄AB，Z3=ZB，Z1 = Z2，求证：CD丄AB。分析：这是一个与例14同样结构的图形，但证明的目标却是两条直线垂直。证明CD丄AB, 根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条。”又由于已知条件EF丄AB，只要 证明EF/CD，要证EF/CD，结合图形，只要证明Z
14、2=ZDCB，因为Z1 = Z2，只需证明ZDCB= Z1,而ZDCB与Z1是一对错角，因而根据平行线的性质，就需证明DG/BC，要证明DG/BC 根据平行线的判定方法只需证明Z3=ZB,而这正是题设给出的条件，整个推理过程经过以下几 个层次：Z.=DCBZ3=ZB DG/BC= Z1 _Z2二 ZDCB=Z2（1）平行线判定DCFE2）平行线性质二 CD丄AB3）平行线判定性质 （ 4）垂直定义证明：VZ3=ZB （已知），.DG/BC （同位角相等，两直线平行）AZ1 = ZDCB （两直线平行，错角相等），VZ1 = Z2 （已知），.ZDCB=Z2 （等量代换），.DC/EF （同位角
15、相等，两直线平行），.ZCDF=ZEFB （两直线平行，同位角相等）, EFIAB （已知），J .-.ZEFB=90 （垂直定义），/CDFT3 （等重代换），.CD1AB （垂直定义）有括号部分的五步也可以用以下证法：接DC/EF （同位角相等，两直线平行），又VEF丄AB （已知），.CD丄AB （条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。）3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证明E、0、F三点共线， 通常采用ZEOF=180o,利用平角的定义完成三点共线证明。此方法不再举例。五、一题多解。例 9、已知如图，ZBED=ZB+ZD。求证：AB/CD。法（一）分析：要证明AB/CD，从题设中条件和图形出发考虑，图形中既不存在“三线八 角”，又不存在与AB、CD同时平行的第
