《数值分析习 题 六 解 答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析习 题 六 解 答（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题六解答1、在区间0, 1上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。J y = TO( y T)2J yy = sin x + zt y(0)= 2t y(0)= 0解：(1)取h=0.1,本初值问题的欧拉公式具体形式为y+1=y广(y广1)2(=2 )由初值y0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=2；X=0.1, y1 = y0 - (y0 -1)2 = 2 -1 = 1x2=0.2，y2 = y1 -3 -1)2 =1 -0 =1指出：211可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。(2)取h=0.1,本初值问题的欧拉公式具体形式为y = y + h(sin x
2、 + e-x)2(n = 0,1,2,)由初值y0=y(0)=0”出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=0;X=0.1，y = y + h(sin x + e-x0 )2=0 + 0.1x (sin0 + e0) = 0 + 0.1x (0 +1) = 0.1x2=0.2，y = y + h(sin x + e-x1 )2=0.1 + 0.1x (sin 0.1 + e-0.1) = 0.1 + 0.1x (0.1 + 0.9) = 0.2指出：本小题的求解过程中，函数值计算需要用到计算器。2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测一校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。J y = x2 - 2
3、y(0 x 0.5)t y (0) = 1解：(1)取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为y+1 = yn + h(x； - 2y)(n = 0,1,2,)由初值y0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=1；x1=0.1，y = y + h(x2 - 2y ) = 1 + 0.1x (02 - 2 x1) = 0.8x2=0.2，y2 = y1 + h(x; - 2七)=0.8 + 0.1x (0.12 - 2x 0.8) = 0.641yn+1=yn+hf (xn，yn)71 h 孔，yn+i = yn + 云 f (x, yn) + f (x” y本初值问题的预测
4、一校正公式的具体形式为+ 0.1x (x2 - 2y )n几+ 0.05(x2 - 2y ) + (x2 - 2厂)n,n+1nn+1(2)由预测校正公式取 h=0.1,ynlyn+1 = yn由初值y0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下:x0=0，yT；X=0.1，y = y + 0.1x(x2 -2y ) = 0.8,y = y + 0.05 x (x2 - 2y ) + (x2 - 2)100011=1 + 0.05 x (0 - 2) + (0.12 - 2 x 0.8=0.8205x2=0.2,y = y + 0.1 x (x2 - 2y )=0.8205 + 0.1x (0.
5、12 - 2 x 0.8205) = 0.6574y = y + 0.05 x (x2 - 2y ) + (x2 - 27)211122=0.8205 + 0.05 x (0.12 - 2 x 0.8205) + (0.22 - 2 x 0.0.6574=0.67523、试导出解一阶常微分方程初值问题y = f (x, y)(x = a x b)0、y(x0) = y+ hf (x , y )(n = 0,1,2,)n+1n+1的隐式欧拉格式y = yn + 1并估计其局部截断误差。解：在区间xn，xn+i上对常微分方程y /(x)=f(x,y)两端同时积分，得 y+iy=+1 f (x，y
6、(x)xx n由右矩形公式得+1 f (x, y(x)dx hf (x , yQxn+n+n所以有差分格式y = y + hf (x , y )(n = 0,1,2,)n + 1nn +1 n + 1这是所谓隐式欧拉公式。对于隐式欧拉法y 1 = y + hf (xy(n = 0,1,2,)假定yn=y(x),上式右边的yn+1=y(xn+1)，贝UJ = J + hf (x , j ) = j (x ) + hf (x , j (x ) = j (x ) + hy(x ) n+1nn+1 n+1nn+1n+1nn+1将y/(xn+i)按泰勒公式展开，上式为 y = y (x ) + hy(x
7、 ) n+1nn+1=y(x ) + hy(x + h)nn=y (x ) + h y (x ) + hy(x ) + nnn将y(xn+i)按泰勒公式展开，得 y(x ) = y(x + h)n+1n.h 2h3 .=y(x) + hy (x) + y (x) + 3 y (x) + 两式相减，得. h 2h3y(x ) - y = y(x ) + hy (x ) + 不 y (x ) + 项 y (x ) + -y(x ) - hy (x ) + hy (x ) + n+1n+1nn 2! n 3! nnnn=-h y)+O(h3) 2! n即y(x )- y = -My(x ) + O(
8、h3) n+1n+12! n所以，y(x ) y = O(h2)n+1n+1指出：可以用多种方法导出，其中差商法、数值积分方法是简单的方法。4、验证改进的欧拉公式对任何不超过二次的多项式y = ax 2 + bx + c准确成立，并说明理由。分析：本题所说的改进的欧拉法，是指梯形公式h 一 、一 一y = y +=(f (x, y) + f (x , y )。i+1 i 2 i ii+1 i+1 在初值问题Iy = f (xy)(% = a x b)中，y是解函数。y (x0) = yo 本题要证明的是，如果解函数是y = ax 2 + bx + c，则用梯形公式求出的数值解yn等于相应的解函
9、数的函数值y(x)，而y(x ) = ax2+bx +c，即要证明y = ax 2 + bx + c。 为了证明结论成立，先建立求解格式。 注意，y = ax2 + bx + c，所以 f (x, y) = y = 2ax + b。解：因为 j = ax 2 + bx + c所以=2ax + b y = ex + f。记 f (x) = ex + f，设 x = ih, i = 0,1,2,i改进的欧拉公式为fh 。cy = y +3(f(x,y) + f(x ,y ) i+1i 2 i ii+1i+11卜 y + -(ex + f) + (ex+ f )(i = 0,1,2,.)2 11+1
10、y0 = C将上式对i从0到n-1求和并利用初值条件得yn =云 2 (ex + f) + (ex +1 + f) + ci=0=习(x + x ) + nfh + c =习(ih + (i + 1)h) + nfh + c2 ii+1，2 0e”2 玄(i + i +1) + nfh + c = eh2 (E i + 习(i +1)+nfh + ci=0i=0i=0eh2 Eeh21 /=(2 乙 i + n) + nfh + c =(2 x n(n 一 1) + n) + nfh + ci=0e(nh)212 + fnh + c = e(nh)2 + fnh + c=1 ex 2 + fx
11、 + c = ax 2 + bx + c2 n nn n贝 U y = ax 2 + bx + c = y (x ) nnnn所以，改进的欧拉法对任何不超过二次的多项式y = ax 2 + bx + c准确成立。指出：通过累加，把递推关系变成了函数关系。5、对于初值问题fy，= xy 2(0 x 1) 【y (0) = 1试用(1)欧拉法；(2)改进的欧拉法；(3)四阶经典龙格-库塔法分别求解，并 比较之，取h = 0.2。解：(1)取h = 0.2，本初值问题的欧拉公式具体形式为J = J + hx y2(n = 0,1,2,) n+1n n n由初值y0=y(0)=1出发计算，所得数值结果
12、如下:xo=0，yT；x1=0.2, y = 1 + 0.2 x 0 x12 = 1x2=0.4，y = 1 + 0.2 x 0.2 x12 = 1.04x2=0.6，y3 = 1.04 + 0.2 x 0.4 x 1.042 = 1.126528由预测校正公式+谷笠-y = y + f (x , y ) + f (x, y )n+1 n 2 n nn+1n+1取h = 0.2，本初值问题的预测一校正公式的具体形式为y n+11y n+1=y + hx y 2n,h 2 1=y +-x y2 + x Hy2 nn+1由初值y0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下:x0=0，yT；X=0.2
13、，y1y1=y + hx y 2 = 100 0hc0.2=y + x y2 + x y2 = 1 +0x12 + 0.2x12 = 1.020 2 0 01 12x2=0.4，=y + hxy 2 = 1.02 + 0.2 x 0.2 x 1.022 = 1.061616111h一0一2=y + -x y2 + x y2 = 1.02 + 0-0.2x 1.022 + 0.4x 1.0616162 = 1.0857521 2 i12、2(3)四阶经典龙格一库塔公式为hy = y, + g(k + 2k + 2k + k )匕=f (气,y)hk2 = f (x,+ 2,yhy2hk、I P) hk k = f (x + =, y +十)-23 - i 2 i 2k = f ( x + h, y + hk )4 ii 3在本题中，f (x, y) = xy2，取 h = 0.2, y(0) = 1，计算得k = f (x , y )=尤产=01 000 0k = f (x + h, y + 号)=(x + h)(y + 与)=(0 + 写)(1+ 0)2 = 0.12 0 2 020 20222,h hk、 ， h、, hk、 小 0.2、/, 0.2x 0.1k= f (x +；, y+)= (x+;)(y +)2 = (0 + p)(1+-)2
