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1、本文为自本人珍藏版权所有 仅供参考导数及其应用（选修II ）苍南龙港咼中 吕存于【考点解读】1 导数（选修II）高考考核要求为：导数的概念及某些实际背景，导数 的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、积、商的导数，复合 函数的导数，基本导数公式；利用导数研究函数的单调性和极值， 函数的最大 值和最小值等。2比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全 国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大 （12 分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要 得分点。3 命题热点难点是：利用导数求函数的极值；利用导数求
2、函数的单调 区间；利用导数求函数的最值；利用导数证明函数的单调性； 数在实际中 的应用；导数与函数、不等式等知识相融合的问题；导数与解析几何相综合 的问题。4 体系整合5 复习建议：学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小 或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸， 这种方法使复杂问题简单 化。导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。热点一：导数的几何意义函数y=f (x)在点xo导数的几何意义，就是曲线y=f (x)在点P(xo, f(xo)处的 切线的斜率，也就是说，曲线 y=f (x)在P (xo,
3、 f (xo)处的切线的斜率是f(xo), 于是相应的切线方程为y yo=f (xo) (x xo),巧借导数几何意义“传接”的各类 综合题频频出现。【错题分析】错例1 (2004天津卷20(2)曲线f(x)=x3 3x,过点A(0 , 16)作曲线f (x) 的切线，求曲线的切线方程。误解：f (x)=3x3 3,根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率 k二f(0)= 3,所以曲线的切线方程为y= 3x + 16。剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A (0, 16)不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线 的方程。正确解法：设切点坐标
4、M(xo,x。3-3x。)，则切线的斜率k = f(焉)=3沧2-3，切 线方程y =(3x。2 -3)x -16，又因为点M在切线上，所以x。3 - 3x。= 3(沧2 -3)x。16得 xo =-2,.切线方程为y =9x 16.【典型题例】例1:设Po (xo, yo)为曲线C : y=x 3 (x 0)上任意一点，过Po作曲线C的切 线与x轴交于Q1,过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1, y1)，然后再 过P1作曲线C的切线交x轴于Q2,过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(X2, y2)，依此类推，作出以下各点：Po,Q1 ,P1,Q2,P2,Q3,，Pn,Qn+1,
5、，已知 xo=9,设 Pn (xn, yn) (n N)。(1) 求出过点Po的切线方程。(2) 设 xn=f (n) (n N),求 f (n)的表达式；(3) 求 lim( xo x1 d l| xn)的值。点拨本例涉及到求切线方程的问题，其关键在于掌握切线的斜率等于切点 的导数解析 (1) y z=3x2,vPo (9, 93)，二切线 P0Q1 的斜率 k=y|x =x0=3x2=243 ,过Po点的切线即直线 P0Q1的方程为y 93=243 (x 9)，即243x y 1458=0.(2) 过Pn (Xn , yn)的切线的斜率为kn=3x，切线方程为y yn=kn(X Xn),即
6、 y x* =3x* (x Xn).令 y=0 得3X=Xn = 2X，即 Qn+1 的横坐标为Xn,3x233又直线 Qn+ lPn+1 / y 轴，I P n+1 的横坐标 Xn +1= Xn,由于 Xo=9,：数列 Xn /3是公比为的等比数列二 xn=xo ( )n=9X (-)n，则 f (n) = 9X (-)n, (n N)33339(3) lim( Xo 儿 |l| xj = =27r-3点评：求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它 给出切线的方向（切点的导数）；应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。【热点冲刺】1. 已知曲线y=sinx,x （0,二）在P
7、点切线平行于直线x 2y=0，则P点坐标、厂兀为（3,O. 22. 若 a0，f （x） =ax + bx+ c，it-，则P到y=f （x）对称轴距离为（4 1 1A、0， B、0， C、0，a3. （预测题）有两个不同的交点，曲线y=f (x)在点P (x，f (xo)切线倾角为0，B ) |2a12a（1990日本高考题）.设抛物线y=x2与直线y=x + a （a是常数） 记抛物线在两交点处切线分别为 11, 12，求值a变化时11与b 1D、0，| 2a |12交点的轨迹。解答：将y=x + a代入y=x2整数得x2x a=02 1 为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须 = （ 1
8、） + 4a0,所以a-4设此两交点为（a , a2）, （B, B2）, aB，由y=x2知y=2x，则切线11,12的方程为22y=2 a X a , y=2 B x B两切线交点为(X, y) 则因为a , B是的解，由违达定理可知a+B =1 , a 3 = a1 1由此及可得 x= , y= av -2 4从而，所求的轨迹为直线x=上的yv丄的部分。2 4热点二：利用导数研究函数性质运用导数的有关知识，研究函数的性质(单调性、极值和最值)是高考的热 点问题。高考试题常以解答题形式出现，主要考查利用导数为工具解决函数、不 等式及数列有关的综合问题，题目较难。【错解分析】错例2已知函数f
9、(x) =在(一2,+)内单调递减，求实数a的取值x +2范围。2-1误解：f(x)=2，由f (x)在(2，+)内单调递减，知f(x) 0 (f(x) W 0且f (x)在任一子区间上不恒为零。而当a=-时，f(x)=丄不是单调递减函数，2 2不合题意。(2) 在区间D内可导数f(x)，利用导数判别f(x)单调性法则为：若x D时， 有f (x) 0(v0=,则f(x)在D内是增(减)函数；反之，若f(x)在D内是增(减) 函数，贝U x D时，恒有f (x) 0 (W 0)。(不恒为0)(3) 再由函数的单调性过渡到函数的极值，由错例2到错例3错例3函数f (x) = (x2 1)3+ 2
10、的极值点是()A、x=2 B、x= 1 C、x=1 或1 或 0D、x=0误解：f (x) =x6 3x4 + 3x2 + 1,则由 f(X)=6x5 12x3 + 6x=0 得极值点为 x=1， x= 1和x=0，故正确答案为C.正确解法：事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f(x) =6x5 12x32 2+ 6x=6x(x + 1) (x 1)知，当 x ( x， 1)时，F(x) v 0；当 x ( 1，0)时， f(x) v 0；当 x (0，1)，f(x) 0;当 x (1，+x)时，f(x) 0. f (x)在(， 1)、( 1，0)单调递增，在(0，1)、(1，+)单调
11、递减。则x=0为极小值点，x= - 1或1都不是极值点(称为拐点)。故应选D剖析：(1)满足f(Xo)=O的点x=xo (称为驻点)只是它为极大(小)值点 的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。? 1(2)在求极值点时候，有时还要注意导数不存在的点.如：求f (x) = x? 一 x23 的极值点。(x= 1，0(易遗漏)【典型题例】例2： (2001年北京、内蒙古、安徽春季招生题)在1与2之间插入n个正数 b b b3 . bn，使这n+ 2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数 bibb,., bn ,使这个n + 2个数成等差数列。记 An=印a & .
12、 an , Bn= b| b2 b?. bn(1) 求数列代和:Bn 的通项；(2) 当n7时，比较/和 :Bn ?的大小，并证明你的结论。点拨：在解决第(2)问时，可考虑将比较大小的问题转化为对函数单调性的 研究，从而用导数求解。解析:(1)因为 1， a an = a2 Gn=川=ak a* 1 丄=11丨=1 2 二 2,., a*，2 成等 比数列。所以 a1 E = a2 &=IH = ak an 1 _k = IH = 1，2 = 22所以 An =(a1 an) (a2 aQ川 aj =2nn所以An=22因为 1， b1,b2,b3,., bn，2 成等差数列，所以 b b2=
13、1 + 2=3b1 bn3所以 Bn=n= n22n所以数列Anl的通项为An=22，B,的通项为Bn=3 n2(2)构造函数 f (x) =2 -x (x7)，则 f =22 21 02 2又因为 f (xj(22l n2 3) 丄(22ln 3)=丄(2? 3) 02 2 2所以f (x)在7,+x上单调递增。于是f (x) f 0n 3故有 f (n) 0，即 22 n，也就是 AnBn (n7)2点评：(1)第(2)问也可先考查n=7,8,9时An，Bn的大小，提出猜想，然后用数学归纳法给予证明(2)由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成为2005高
14、考的重点内容，在教学中要足够地重视。2 332例 3:设v av 1 函数 f(x)=x323 3 ax1)的大小。f (0) f (1) = b (1a+ b)= a 1 由 a ( , 1),故一a 10, 22323 即 f (0) f (1)，于是 f (x)的最大值为 f (0)。因而有 b=1.又 f ( 1) f(a)= 1 a+ b, (x - 1, 1)的最大值为 1,3 2最小值为一2，求常数a, b的值2点拨：本例需研究f(x)的情况，求出极大、极小值，与端点函数值比较, 以确定a, b的值。2解析：f (x)=3x 3ax=3x (x a)x1(1, 0)0(0, a)a(a, 1)1f(x)
