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1、巧用数学构造法解数列题永福中学:陈容丽 构造法作为一种重要的数学措施，而不是一种数学概念,没有严格的定义。解数学问题时，常规的思考措施是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来谋求解题途径比较困难，甚至无从下手。在这种状况下，常常规定我们变化思维方向,换一种角度思考，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得解.而构造法就是根据数学问题的条件或结论的特性,以问题中的数学元素为“元件”,数学关系为“框架”构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的措施。它的特点是:发明性地使用已知条件,发明性地应用数学知识，极大限度地发散思维。本文重要淡淡构造法在高中数列问题的应用。
2、 数列是高中很重要且有相称难度的一章内容,在近几年的高考中，一般有一道中档的填空题和一道压轴的解答题,所占分值较高。数列问题中的构造新数列在近几年高考题中常常浮现,此类题目的难度及辨别度往往很大，学生不容易掌握,有时甚至无从下手。下面来专门谈一谈构造法在研究数列中的灵活运用。一、型如（为常数且,)的数列,其自身并不是等差或等比数列,但通过合适的变形后，即可构造出一种新数列,运用这个数列可求其通项公式。1 （为常数),可构造等比数列求解例1 已知数列满足，(),求通项.解由，得,又，因此数列是首项为,公比为的等比数列，.注:一般地,递推关系式 (p、q为常数，且p,p1）可等价地改写成，则为等比
3、数列,从而可求2.为等比数列,可构造等差数列、等比数列求解。如(为常数），两边同除以,得,令，则可转化为的形式求解.例（)已知数列中，,求通项.(2)已知数列满足,求通项解 （）由条件，得，令,则,即，又，数列为等比数列，故有,即，（)由条件,得,即,故数列是觉得首项，觉得公差的等差数列， , 故.为等差数列,如型递推式,可构造等比数列求解.例3 已知数列满足,(）,求解 令，则，,代入已知条件,得，即,令，解得=4,=6,因此，且,是以3为首项、觉得公比的等比数列，故,故.注此例通过引入某些尚待拟定的系数,转化命题构造,通过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解4为非等差、非
4、等比数列，可构造等差、等比数列求解法一、构造等差数列求解:例4 在数列中，（)若,其中，求数列的通项公式；()若,求通项解 （1)由条件可得,数列是首项为0,公差为1的等差数列,故，.（2）由条件可得：,数列是首项为，公差为2的等差数列，.法二、构造等比数列求解：例5 已知数列满足,，求数列的通项公式.解设，将已知条件代入此式，整顿后得，令,解得，有,又，且，故数列是觉得首项,以3为公比的等比数列,，故.二、形如的复合数列,可先构造等差数列或等比数列,再用叠加法、叠乘法、迭代法等措施求解.例6在数列中，,，求解由条件可得, 数列是觉得首项，觉得公比的等比数列，,故= 例7 已知数列满足,(),
5、求解由已知可得：，又，因此数列是首项为、公比为的等比数列，即,亦即，又，数列是首项为、公差为6的等差数列，.三、某些较为特殊的数列，可运用“取倒数”的措施构造等差数列或等比数列求解.例8已知数列中，,（），,求解由已知，得,设,则，故是觉得首项,1为公差的等差数列,，即例9已知数列,其中，且,求通项n解 由条件得：，设，则,令,解得,于是有,数列是一种觉得首项,公比是3的等比数列,，即,代入bn,得例0若数列中,是数列的前项之和,且，求数列的通项公式.解 由,得，令,则有，故，数列是觉得首项,为公比的等比数列，=,当时,由(）得， .四、对某些特殊的数列,可运用特性方程构造等差数列或等比数列求
6、解如满足(A，B，C，为常数,且）的数列，可令特性方程为,变形为，若方程有二异根，则可令（为待定常数），则数列是首项为，公比为的等比数列；若方程有二重根,则可令（为待定常数）,则数列是首项为，公差为的等差数列。然后裔入的值可求得值，于是可求得例11已知数列满足,求数列的通项解 令，化简得，解得,令， 由,得,可得，数列是觉得首项，觉得公比的等比数列,，解得.例12已知数列满足，求数列的通项解令，即,解得，令,由得,求得，数列是觉得首项,觉得公差的等差数列，故五、其他特殊数列的特殊构造措施1.通过取对数来构造新的数列求解例13 若数列中，=3且(n是正整数),则它的通项公式是=.解 由题意知0，
7、将两边取对数得,即，因此数列是以=为首项,公比为的等比数列，即2.通过换元来构造新的数列求解例4 数列中,，,求.分析 本题的难点是已知递推关系式中的较难解决，可构建新数列,令,这样就巧妙地去掉了根式，将通项进行转化,便于化简变形解令，则， ，即，则原条件可化为,化简得,即,变形得,数列 是觉得首项,为公比的等比数列，即, 3.对于两个数列的复合问题，也可构造等差或等比数列求解。例15 在数列、中，,且,求、的通项公式.解构造新数列,则=+=,令,得 =或5，数列是首项,公比q=+5的等比数列,即：当=3时,是首项为,=+=的等比数列，故=; 当 =5时，是首项为=，q=+5=0的等比数列,故
8、=6，联立二式,得，解得,。注:1.并不是任何数列都可以求出其通项的,可以求出通项的只是某些特殊的数列。例如数列1,1.4，.41，1.41，就没有通项公式;2同一种数列的通项公式的形式不一定唯一。例如数列-1,1，-1,1，其通项公式为，或;.数列是函数概念的继续和延伸,数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同，因此在研究数列问题时既要注意函数措施的普遍性,又要注意数列措施的特殊性。从上述各题构建新数列的过程中,可以看出对题设中递推式的观测、分析，并据其构造特点进行合理变形,是成功构造新数列的核心。构造新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。由上所举众多例子,不言而喻，正是在问题按照定向、按照常规难以解决的状况下，我们才变化思维方向，发明解题条件。长此以往,这将有助于我们优化思维品质，提高思维能力;深刻理解概念，综合运用知识;发挥主观作用,激发学习爱好，在中学数学课的教学中,引导学生运用构造法解题不仅能提高学生的解题能力,更重要的是通过这种解题措施的运用可丰富学生的想象力,培养她们的发明性思维能力.高水平地掌握知识并能把知识广泛地运用到解决问题上来,使学生的思维由单一型转变为多角度，变得积极、灵活、自如.
