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1、教学研究案例开放题教学研究课题：面积相等的多边形1. 课题及其说明（1）课题 作与下面四边形（如图1）相等面积的多边形。（2）关于本课题 在教学中，在66格子点的板子上作四边形ABCD，并提示问题。该问题有多种答案。作为“具有相等面积的多边形”，可以考虑到三角形、四边形、五边形、六边形。在四边形中也有正方形、长方形、梯形、平行四边形。 图1如果将连结格子点的最小的正方形看作单位1的话，就考虑到如下的各种情形。根据四边形ABCD面积为10的条件来解决问题。如果考虑面积为10的多边形的话，可以想到底边为5高，为4的三角形、宽为2长，为5的长方形、底边为5，高为2的平行四边形、组合图形等多种情形。先
2、不求四边形ABCD的面积，例如，把以四边形的对角线为一边作2个三角形，在与对角线平行的直线上移动三角形的顶点，采用等积变形的方法。改变四边形ABCD（梯形）面积公式中的数值，作新的表达式，制作符合该表达式的图形的方法。例如，用公式（3+2）42可以求出给定图形的面积。将该式改变为(0+5)42,并作符合该式的图形，就得到三角形。如果关注该过程就能够整体上看到图形的面积公式。进而，如果再考虑该问题的发展的话，例如，根据格子点数目的变化，可以得到更多的解答。另外，如果把制作图形限定在三角形和四边形的话，还能够进行不同目标的教学。另外，根据学年，可以论及皮克定理，并更好地引起学生学习算数的兴趣。2.
3、预想到的反应及其考察（1）预想到的反应 当解决该问题时，预想到2种解决方法。其一，根据面积为10的条件，可以作面积为10的多边形。首先，作长方形。能够作如图2的长方形。再灵活地思考后可以作右边的长方形。 图2其次，作平行四边形。如果根据底边和高相应相等的平行四边形的面积相等的事实，能够构造如图3的平行四边形。 图3作梯形。例如，如图4的梯形。图4作组合图形。例如，如图5。 图5作正方形。由于在教学中没有a=10的a，有不少学生想不能制作正方形。但是，提出“究竟能否制作正方形呢？”这个问题的时候，可以去考虑如图6的正方形。即使是不求面积，从图形性质出发，可以制作相等面积的图形。 图6把最初的四边
4、形看做长方形、三角形和被分成两个三角形来考虑。从如果两个三角形的底边和高分别相等的话面积相等出发，如图7，可以作各种多边形。 图7利用面积公式，建立新的表达式后，将改变该表达式中的数值，建立新的表达式，考虑作符合该表达式的图形。四边形ABCD为梯形，因此用下面的表达式求出它的面积：（3+2）42=10改变其中的数值后得到以下表达式。a.(2+3)42=10b.(1+4)42=10c.(0+5)42=10把b和c用图形表示后得到如图8的结果。 图8（2）关于反应例的考察 首先，根据面积为10的条件来考察作多边形的情形。学生对的作长方形的反应最多。但是，作在倾斜位置上作长方形的学生较少。66格子点
5、的板子上，只能作一种图形。但是增加格子点的话，也可以作别的倾斜的长方形。的平行四边形被容易发现。面积为10的平行四边形就是底边为5高为2或者底边为2高为5的平行四边形。但是，在66的格子点中只限于图形中的那个平行四边形。当格子点为7的时候可以作两个平行四边形。的梯形中的作图有两种情形，即考虑梯形面积公式作图和数方格数作图。根据公式来作图时，不改变高，上底和下底之和为5的情形和高为5而上下底之和为4的情形。的组合图形中，数方格的数来作图。例如，首先作面积为10的十字形的图形。学生将这个图形进行改变来作各种各样图形。专注于增减部分图形来开展作各种形状的活动。的正方形的构造者很少。但是，介绍之后，能
6、够启发学生的转换思维。上述作面积为10的多边形的活动，能够培养学生动态地思考图形的能力，同时也能够加深对面积概念的意义的理解。其次，不求面积来考虑作相等面积的多边形的情形。的情形，无论是哪个反应例，都是从给定图形的一部分的三角形出发。由于等底等高的三角形的面积相等，因此一般与底边平行的直线上取顶点来构造多边形。在所构造的图形中，也有凹形的五边形和六边形，由于顶点的位置的不同而能够制作三角形，这为让人惊奇。的情形，从求面积的表达式出发，也许提出“改变这个表达式的一部分，不考虑符合这个表达式的图形是不可以吧？”的质问。由于这个质问的提出，能够培养学生整体上思考面积公式的能力。作为发展性问题，可以考虑到皮克定理的介绍。在这种情形下，给出公式“（周上的点数）2+（内部的点数）1”，对于各种图形，达到能够确认的程度。在教学中能够进行这种话题，能够提高对算数的关心，而且是非常有效的方法。皮克定理设周上的点数为P,内部点数为I,那么，。在下图的情况下，P=9,I=4,所以。 图91
