《高中数学 第3章 概率 3.3 几何概型知识导引学案 苏教版必修3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第3章 概率 3.3 几何概型知识导引学案 苏教版必修3（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3几何概型案例探究 判断下列试验中事件A发生的概率是否是古典概型？若不是，它又是什么概型呢？ （1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如右图所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率. 分析：本题探究的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关. 解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有66=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型. （2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”.概率可以用阴影部分的面积与总
2、面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型. 请同学们再想想下面问题. 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各地的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率. 分析：假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.我们可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件. 解：设A=等待的时间不多于10分钟， 我们所关心的事件
3、A恰好是到站等车的时刻位于50，60这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得 P（A）= 即“等待的时间不多于10分钟”的概率为自学导引 1对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model）. 2几何概型的两个基本特征：（1）无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个. （2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 3一般地，
4、在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率 P（A）=. 这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等. 4几何概型的试验中，事件A发生的概率P（A）只与子区域d的测度（长度、面积、体积）成正比，而与子区域d的位置和形状无关.疑难剖析 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型的基本事件则有无限多个. 计算几何概型的概率要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的测度（角度、面积、体积），而这可能遇到困难
5、，这是本节难点之一.实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何知识，把问题转化为各种几何概型的概率问题. 同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景中去判断. 【例1】 在等腰RtABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率. 思路分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D当点M位于图中线段AC上时，AMAC故线段AC即为区域D解：在AB上截取AC=AC于是P（AMAC)=P(AMAC)= . 思维陷阱：如右图，在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率. 错解：在AB
6、上取AC=AC,在ACB内作射线CM看作在线段AC上任取一点M，过C、M作射线CM，则概率为. 错因分析：虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线.因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性. 正解：在ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的.在AB上取AC=AC，则ACC=675，故满足条件的概率为=0.75 思维启示：判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择好观察角度.【例2】 如右图，在直角坐标系内，xOT=60，任作一条射线OA，求射线OA落在xOT内的
7、概率. 思路分析：以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的.落在xOT内的概率只与xOT的大小有关，符合几何概型的条件. 记B=射线OA落在xOT内. xOT=60, P(B)= = 思维启示：此题关键是搞清过O作射线OA可以在平面内任意作，而且是均匀的.因而基本事件的发生是等可能的.【例3】 如右图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm、4cm、6cm,某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问： （1）投中大圆内的概率是多少？ （2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ （3
8、）投中大圆之外的概率是多少？ 思路分析：投中正方形木板上每一点（投中线上或没投中都不算）都是一个基本事件，这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个，且每个基本事件发生的可能性都相等，所以投中某一部分的概率只与这部分的几何度量（面积）有关，这符合几何概型的条件. 解：记A=投镖击中大圆内， B=投镖击中小圆与中圆形成的圆环， C=投镖击中大圆之外. S正方形=162=256， S大圆=62=36, S中圆=42=16, S小圆=22=4 P(A)= P(B)= P(C)= 答：投中大圆内的概率是；投中小圆与中圆形成的圆环的概率为；投中大圆之外的概率是1- 思维启示：投中线上或没投
9、中不算，是为了保证投中正方形内各部分的任意一点都是等可能的，因而可用几何概型的概率公式求概率. 【例4】 在500mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率. 思路分析：由于草履虫在水中什么位置是随机的，而取水样也具有随机性，所以取哪一部分水样的可能性相等.因而取到草履虫的概率只与所取水样的体积有关.这符合几何概型的条件. 解：记事件A=在取出的2mL水样中有草履虫. 由几何概率公式得，P（A）=0.004 【例5】 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率.思路分析：甲、乙两人中每人到
10、达会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标（x,y），就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由|x-y|15所对应的图中阴影部分表示.由于每人到达的时间都是随机的，所以正方形内每个点都是等可能被取到的（即基本事件等可能发生）.所以两人能会面的概率只与阴影部分的面积有关，这就转化为面积型几何概率问题. 解：以x和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|15在
11、如右图所示平面直角坐标系下，(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够会面”的可能结果由上图中的阴影部分表示.由几何概率公式得： P（A）= 答：两人能会面的概率是 思维启示：本题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点（x,y），从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概率问题.拓展迁移【拓展点】 乔和摩进行了30分钟的关于他们前一天夜里进行的活动的谈话，然而谈话却被监听录音机录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含他们俩犯罪的信息，然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，
12、该工作人员声称她完全是无意中按错了键，使从此处往后的所有内容都被擦掉了.试问：如果这10秒钟的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？ 分析：包含两人犯罪的谈话录音的部分在30 s到40s之间，当按错键的时刻在这段时间内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s之间时全部被擦掉，即在0到40s之间即0到min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件. 解：记A=按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，A发生就是在0到 min时间段内按错键. P（A）=6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
