《高考数学二轮专名师讲义：第11讲数列求和及其综合应用含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学二轮专名师讲义：第11讲数列求和及其综合应用含答案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考数学精品复习资料 2019.5第11讲数列求和及其综合应用 1. 掌握数列的求和方法：(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n1)n20，bn(nN*)，且bn是以q为公比的等比数列(1) 证明：an2anq2；(2) 若cna2n12a2n，证明：数列cn是等比数列；(3) 求和：.(解法1)(1) 证明：由q，有q, an2anq2(nN
2、*) .(2) 证明： anan2q2， a2n1a2n3q2a1q2n2，a2na2n2q2a2q2n2， cna2n12a2na1q2n22a2q2n2(a12a2)q2n25q2n2， cn是首项为5，以q2为公比的等比数列(3) 解：由(2)得q22n，q22n，于是()()(1).由题知q0，当q1时，n；当q1时，.故解法2: (1) 同解法1.(2) 证明：q2(nN*)，又c1a12a25， cn是首项为5，以q2为公比的等比数列(3) 解：由(2)的类似方法得a2n1a2n(a1a2)q2n23q2n2，. q2k2，k1，2，n, (1q2q4q2n2)(下面同解法1)题型
3、四 数列求和的综合应用例4 将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn，b1a11，Sn为数列bn的前n项和，且满足1(n2)(1) 证明：数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a81时，求上表中第k(k3)行所有项的和(1) 证明：由已知，1，又bnSnSn1， 2(SnSn1)Sn(SnSn1)S，即2Sn12SnSnSn1.又S110， SnSn10， ， 数列成等差数列，且
4、1(n1)，即Sn， bn(2) 解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q0.因为121278，所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故a81在表中第13行第三列，因此a81b13q2.又b13，所以q2.记表中第k(k3)行所有项的和为S，则S(12k)(k3)1. (20xx全国卷)等差数列an的公差为2，若a2、a4、a8成等比数列，则an的前n项和Sn_答案：n(n1)解析： 等差数列an的公差为2，且a2、a4、a8成等比数列， aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，解得a12，则an2n， Snn(n1)2. (20xx福建卷)在等比数列an中，a23
5、，a581. 若bnlog3an，则数列bn的前n项和Sn_答案：解析：设an的公比为q，依题意得解得因为bnlog3ann1，所以数列bn的前n项和Sn.3. (20xx全国卷)已知an是递增的等差数列，a2、a4是方程x25x60的根，则数列的前n项和为_答案：Sn2解析：方程x25x60的两根为2、3.由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而得a1.所以an的通项公式为ann1.设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn，两式相减得Sn，所以Sn2.4. (20xx安徽卷)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A
6、1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；依此类推，设BAa1，AA1a2，A1A2a3，A5A6a7，则a7_答案：5. (20xx山东卷)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bna，记Tmb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解：(1) 由题意知，(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12.故数列an的通项公式为an2n.(2) 由题意知，bnan(n1)，所以Tn122334(1)nn(n1)因为bn1bn2(n1)，所以当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)
7、48122n，当n为奇数时，TnTn1(bn)n(n1).所以Tn6. (20xx江苏卷)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项和记bn，nN*，其中c为实数(1) 若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2) 若bn是等差数列，证明：c0.证明：由题设，Snnad.(1) 若c0，得bnad.当b1，b2，b4成等比数列，bb1b4，即a，得d22ad0.又d0，故d2a.由此Snn2a，所以Snk(nk)2an2k2an2Sk(k，nN*)(2) 设数列bn的公差是d1，则bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的
8、表达式，整理得，对于所有的nN*，有n3n2cd1nc(d1b1)令Ad1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，则对所有的nN*，有An3Bn2cd1nD(*)在(*)式中分别取n1，2，3，4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，从而有由、得A0，cd15B，代入方程，得B0，从而cd10，即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，则由d1d0，得d0，与题设矛盾，所以d10.又cd10，所以c0.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(20xx南通二模)各项均为正数的数列an中，设Sna1a2an，Tn，且(2Sn)(1Tn)2，nN*.(1) 设bn2Sn，证明数列bn是等比数列；(2) 设cnnan，求集合(m，k，r)|cmcr2ck，mkr，m，k，rN*解：(1) 当n1时，(2S1)(1T1)2，即(2a1)2，解得a11.(2分)由(2Sn)(1
