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1、-第一章绪论1. ，如果*|0.5这里n是使此式成立的最大正整数，则称为*的具有n位有效数字的近似值。2定理：设*的近似值有1-1的表示式：如果有n位有效数字，则如果，则至少有n位有效数字。第二章非线性方程根求解1. 零点存在定理如果f(*)在a,b上连续，使f(a)f(b)1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。5.牛顿迭代法：定理3：如果方程f(*)=0的根a是单根，且在a的*领域内f(*)具有二阶的连续导数,则Newton迭代法必是局部收敛的且即具有二阶收敛速度定理4：如果a是方程f(*)=0的r重根r1，且f(*)在a的*邻域内具有r阶连续导数，则Newton法具有局部收敛性，且具有
2、线性收敛速度。定理5：如果a是方程f(*)=0的r重根r1，且f(*)在a的*邻域内具有r+2阶连续导数，则修正Newton迭代公式：，具有局部收敛性，且具有二阶收敛速度。定理6：设f(*)在f(*)=0的有根区间a,b上二阶导数存在，且满足：1f(a) f(b)0的点，都能使Newton迭代法：得到的序列收敛到方程f(*)=0唯一的根a。6.弦割法：定理：设f(*),f (*),f (*)在包含f(*)=0的根a的*区间上连续，且a是其单根，则如果初始值和选得充分接近a，由212产生的迭代序列收敛于a，收敛的阶是，且第三章插值法1.定义：设f(*)为定义在a,b上的函数，为a,b上n+1个互
3、不一样的点，为给定的*一个函数类，假设上有函数y(*)，满足： (3)，则称y(*)为f(*)关于节点在上的插值函数，点称为插值节点,f(*)称为被插值函数。包含插值节点的区间a,b称为插值区间，条件3称为插值条件。2. 定理：设表示次数不超过n次的多项式的全体，则满足插值条件3的，属于函数类的插值多项y(*)存在且唯一。3. Lagrange插值多项式：，定理：设f(*)在a,b上存在n阶连续导数，在a,b上存在n+1阶导数，是满足条件3属于插值多项式，则对任何，插值余项为：，其中，且依赖于*，推论：满足条件(33)的Lagrange插值基函数：，有如下性质：1，(k=0,1,n)，特别2k
4、=1,n4. 差商均差与Newton插值法为f(*)关于节点的k阶差商。性质1：性质2：如果是0，1，2，k的一个排列，则=性质3：Newton插值多项式的余项为R(*)=f(*)-=性质4：如果f(*)有n阶导数，则5.差分及插值公式：见教材P31.6.Hermite插值多项式：用Hermite插值多项式去替代f(*)产生的误差为：R(*)=f(*)-H(*)。如f(*)在(a,b)中有n+r+2阶导数时，误差可写成如下形式，其中ea,b7.三次样条插值定义：如果函数S(*)在a，b区间满足：(1) S(*)在a，b上具有二阶连续导数。(2) 对a，b上的划分,S(*)在每一个区间上，S(*
5、)是一个不高于次的多项式，(i=0,1,n-1)。则我们称S(*)是关于划分的一个三次样条函数。三次样条插值唯一性的条件：1第一边界条件：2第二边界条件：。特别称为自然边界条件。3第三边界条件周期条件：当f(*)是以b-a为周期函数时，再增加边界条件：第四章函数逼近与曲线拟合1.权函数定义：设a,b是有限区间或无限区间，在a,b上的非负函数满足条件：(1)存在且有限k=0,1,，(2) 对a,b上的非负函数 g(*)，如果，则，则称为权函数2. 最正确平方逼近：，定理4设是中的线性无关的函数系，则存在且唯一。最优解为2-2其中是下面方程组称之为正规方程组的解：2-3这里是函数的内积。=3.最小
6、二乘曲线拟合：定理5 设，这里不妨设，是在上给定的的函数系，则的解存在。最优解为3-3其中是下面方程组称之为正规方程组的解：3-4如果3-4中的系数矩阵为非奇异，则3-2的解唯一。这里是上向量的加权内积，即：，。4.正交函数与正交项定义6.假设都是内积空间上的线性无关的函数。如果它们两两正交，即，则称连续型函数系是正交系。定理6 (Gram-Schmidt正交化定理)设函数系是内积空间上线性无关的函数系，则：，是上的线性无关的正交函数系。推论1.定理6中的可由唯一表示,也可由唯一表示。，最正确逼近函数，平方误差：。定理9. 对在内积空间上的任一正交多项式系，则在开区间内恰有k个不同的实零点。L
7、egendre多项式：定义7在，取权函数，称多项式，为Legendre多项式。性质4.Legendre多项式的正交性性质5奇偶性Chebyshev多项式：定义8. 在中，称多项式为Chebyshev多项式。性质7.递推关系；5.最正确一致逼近：定理14唯一性定理，设，则在中的最正确一致逼近多项式是唯一的。推论：在区间上所有最高次项系数为1的次多项式中，与零的偏差最小，其偏差为，这里是次Chebyshev多项式。定理15.设，县对，令，则中最优解可如下得到：其中：，且满足的解。第五章线性方程组的直接解法1.矩阵的三角分解定理：设方阵，记，k=1,n，称为顺序主子式，如果方阵A的n个顺序主子式都不
8、等于零，则A一定可以解成LU的形式且分解唯一。设：，则得：这里=1，(1)当ij时，因,得：j=i,n41(2)当ij时，因得：i=j+1,，n424-2中i与j的位置互换得：j=i+1,n。2.对称正定矩阵的Cholesky分解性质1：如果A是正定阵，则A必可Doolittle分解：A=LU。性质3：如果A是正定阵，则A可分解成A=，其中是下三角阵。Cholesky分解：i=1,n=(ji)定义：设矩阵，如果满足条件：(i=1,n)，则称此矩阵为严格对角占优阵。定理：如果矩阵A是严格对角占优阵，则detA0。推论1：如果A是严格对角占优阵，则A的所有顺序主子式都不为零。推论2：如果A是严格对
9、角占优阵，则A可Doolittle分解。3.方程组的性态、条件数向量的*数：定义1：对任意n维向量*，都定义了一个非负实数，记为，且满足以下三个条件：对任意向量*有0, =0当且仅当*=0对任意数a，则称为n维向量空间上的一个*数。n维向量空间上常用的向量*数有：1；2；|*i|；4性质4向量*数的等价性设为n维向量空间上的任意二个不同的*数，则必存在常数，使对中的任意向量*有。矩阵的*数：定义3：对任意n阶方阵A，假设对应一个非负实数满足：10，等号当且仅当A=0时成立2对任意数a，3对任意两个n阶方程A，B有4则称是所有n阶方阵所构成的空间上的一个*数我们这里主要是实的方阵。设A=()nn
10、 ，常用的矩阵*数有：3为ATA的最大特征值也称2*数4也称Frobenius*数向量*数与矩阵*数之间有如下的关系：。方程组的性态、条件数：；cond(A)=。第六章线性方程组的迭代法*(k)=B*(k-1)+g，B为迭代矩阵1简单迭代.定理1：简单迭代格式63收敛的充要条件是B(k)0(k)。定义2：设nn阶矩阵B的n个特征值为，称r(B)为矩阵B的谱半径。定理2：nn阶矩阵A，有Ak0(k)的充要条件是r(A)1定理3：设为上定义的一个*数, 如果, 则。定理4：如果简单迭代法63的迭代矩阵B满足以下条件之一1；23，则简单迭代法、Seidel迭代法都收敛，这里B=bijnn2. Jac
11、obi迭代和Gauss-Seidel迭代Jacobi迭代，B=I，g=b，D=diag(a11,，ann)定理：Jacobi迭代611收敛的充要条件是r。定理2：假设方程组A*=b的系矩阵满足下面条件中的任何一条，则其Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法都收敛。（） 为行对角占优阵，即：i=1,2,n（） 为列对角占优阵，即： (j=1,2,n)的元素满足：，(j=1,2，,n)Gauss-Seidel迭代，B=(DLU，常数项为(DLb，收敛的充要条件是r(DLU)1，L=定理4：假设方程组系数矩阵为正定阵，则其Guass-Seidel迭代收敛。定理5：设具有正对角线元素的对称
12、矩阵，则解线性方程组A*=b的Jacobi迭代法的收敛的充要条件是和都是正定阵。易知与的差异仅是非对角线元素的符号不同(D=diag(a11,，ann)。3.SOR (j=1,n) ，SOR方法收敛的充要条件是rBw1定理1：SOR方法收敛的必要条件是：0w2定理2：如果A是正定对称阵，且0w2，则解方程组A*=b的SOR方法收敛。定理3：假设A为严格对角占优阵，则当0w1时，SOR方法收敛。第七章数值积分和数值微分1.数值积分及代数精度Q(f)= ，*i (i=0,1,n) 71是互异的，Ai (i=0,1,n)与f(*)无关的。误差：En(f) =定义：如果求积公式71对所有次数不超过k次
13、的多项式f(*)能准确成立即Ef=0)，而至少存在一个k+1次多项式g(*)是不成立，即E(g)0，则称该公式具有k次代数精度。定理71：求积公式71有k次代数精度的充要条件是对f(*)=1,*，*k：都准确成立，而对f(*)= *k+1不成立。定理72：求积公式71的代数准确度不超过2n+1。2.等距节点的Newton-Cotes公式i=0,1,n误差： =性质1：有n+1个节点的插值型求积公式73的代数精度至少有n次。性质2：有n+1个节点的插值型求积公式73的求积系数满足：梯形公式n=1：Simpson公式n=2：Cotes公式n=4：性质3：对固定的n，Newton-Cotes系数满足(n1)：3.公式的误差分析梯形公式的误差分析：=Simpson公式的误差分析：E2(f)=4.复合求积公式复合梯形求积公式：，*k=
