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1、第14章 勾股定理14.1 勾股定理专题一 勾股定理与方程1. 如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3， AB=6，BCA=90，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（ ） A6 B3 C D 2. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角A30,B90,BC6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE 米时,有DCAEBC. 专题二 构造直角三角形3. 如图，在ABC中，A30，B45，AC2，求AB的长4. 如图所示，在ABC中，已知AB=13cm，AC=5cm，BC边上的中线A
2、D=6 cm，求BC. 5. 如图，在四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且ABC=90，求DAB的度数.专题三 勾股定理中的分类讨论思想6. 在等腰ABC中，A=30，AB=8，则AB边上的高CD的长是 7. 在ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC的周长为_. 8. 在ABC中， AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向ABC外作ABD，使ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长状元笔记【知识要点】1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形
3、.【温馨提示】在直角三角形中知道任意两边都可以利用勾股定理求出第三边.【方法技巧】1. 当图形中没有直角三角形时，有时可以通过作高构造直角三角形.2. 判定一个三角形是直角三角形有两种方法：借助三角形内角和求出一个角是直角；利用勾股定理的逆定理.参考答案1. C 【解析】 由折叠可知BD=BA=6，DE=AE.BC=3，CD=BC=3，BE=DE=AE，由勾股定理可得AC=，设DE=AE=BE=x，在RtBCE中，32=x2，解得x=，即DE的长度为.2. 【解析】 因A30,B90,BC6米，所以AC12米.设当AE为 x时，所以EC12x，由DCAEBC.及DC2DE2EC2，所以有22（
4、12x）2x236，解得：x.3. 解：过C作CDAB于D，ADCBDC90.B45，BCDB45.CDBD.A30，AC2，CD，BDCD.由勾股定理得：AD3，ABADBD3.答：AB的长是34. 解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.在ADC与EDB中.AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ADCEDB，EB=AC=5cm.在AEB中，AB=13cm，EB=5 cm，AE=2AD=12 cm，E=90.在RtBED中，由勾股定理得，BC=2BD=2cm.5. 解：连结AC.设AB、BC、CD、DA分别为2x，2x，3x，x，则，DAC=90，DAB=90+45=135.6. 或4或
5、4 【解析】 （1）如图，当AB=AC时，A=30，CD=AC=8=4；（2）如图，当AB=BC时，则A=ACB=30，ACD=60，BCD=30，BD=，CD=4；（3）如图，当AC=BC时，则AD=4.设CD=x，则AC=2x. 则，解得x=.故答案为或4或47. 42或32 【解析】 当ABC是锐角三角形时，如图，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,BC=14,此时当ABC的周长为15+13+14=42.当ABC是钝角三角形时，如图，根据勾股定理可得BD=9，DC=5,BC=9-5=4,此时当ABC的周长为15+13+4=32.8. 解：AC=4，BC=2，AB=，AC2+BC2=AB2
6、，ACB为直角三角形，ACB=90分三种情况如图(1)，过点D作DECB，垂足为点E易证ACBBED，易求CD=2如图(2)，过点D作DECA，垂足为点E易证ACBDEA，易求CD=2如图(3)，过点D作DECB，垂足为点E，过点A作AFDE，垂足为点F易证AFDDEB，易求CD=3.CD的长为2或2或3.14.2 勾股定理的应用专题 最短路径的探究1. 编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，则每一根这样的竹条的长度最少是_2. 请阅读下列材料：问题：如图（2），一圆柱的底面半径为5 dm，高为BC是底面直径，求一只
7、蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：设路线1的长度为，则路线2：高线AB + 底面直径BC.如上图（1）所示：设路线2的长度为，则. 比较两个正数的大小，有时用它们的平方来比较更方便哦！ .所以要选择路线2较短.(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算。请你帮小明完成下面的计算：路线1：_；路线2：_. ， ( 填或).所以应选择路线_(填1或2)较短.(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两
8、条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.3. 探究活动有一圆柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直径为cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s.（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 参考答案1. 【解析】 底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，如图每一根这样的竹条的长度最少是.2. 解：（1）路线1：l12=AC2=25+2；路线2：l22=（AB+BC
9、）2=49l12l22，l1l2，选择路线1较短 （2）l12=AC2=AB2+2=h2+（r）2，l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，l12-l22=h2+（r）2-（h+2r）2=r（2r-4r-4h）=r（2-4）r-4h；r恒大于0，只需看后面的式子即可当r=时，l12=l22；当r时，l12l22；当r时，l12l223. 解：（1）如图，AC=2=9（cm），BC=4 cm，则蚂蚁走过的最短路径为：AB=cm，所用时间为2=（秒） （2）作B关于EF的对称点D，连结AD，蚂蚁走的最短路程是AP+PB=AD， 由图可知，AC=9 cm，CD=8+4=12（cm）AD=15（cm）152=7.5（s）.从A到C所用时间为7.5秒9
