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1、word探究圆锥曲线中的存在性问题圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一，各种解得到了很好的表现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了解题方法在本章题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分表现了高考中以能力立意的命题方向近年来圆锥曲线在高考中比拟稳定，解答题往往以中档题或以押轴题的形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2010年高考对本讲的考察，仍将以以下两类题型为主1求曲线或轨迹的方程。对于这类问题，高考常常
2、不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的根本思想方法和能力；2与圆锥曲线有关的最值或极值和取值X围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，表现了解析几何与其他数学知识的联系。存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进展观察、分析、比拟和概括，它对数学思想、数学意识与综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点的问题，也就是是否存在定值定点定
3、直线的问题。今天，我就圆锥曲线中的存在性问题从五个方面给大家做一个分享，也希望能给大家带来一点点的启示。一、是否存在这样的常数例12007某某理19题在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和I求的取值X围；II设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由解：由条件，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或即的取值X围为设，如此，由方程，又而所以与共线等价于，将代入上式，解得由知或，故没有符合题意的常数xAy112MNBO练习1：08某某卷20本小题总分为12分抛物线：，直
4、线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点证明：抛物线在点处的切线与平行；是否存在实数使，假如存在，求的值；假如不存在，说明理由解法一：如图，设，把代入得，由韦达定理得，点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，即假设存在实数，使，如此，又是的中点，由知轴，又，解得即存在，使解法二：如图，设，把代入得由韦达定理得，点的坐标为，抛物线在点处的切线的斜率为，假设存在实数，使由知，如此，解得即存在，使练习2.直线 与曲线相交于P、Q 两点。（1） 当 a为何值时，；（2） 是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O？假如存在，求出的值，假如不存在，请说明理由。解：
5、1联立方程，即，设P、Q两点的坐标为，所以，化简得即为所求。（3） 假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O，二、是否存在这样的点例2.2009全国卷本小题总分为12分椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为I求，的值；II上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？假如存在，求出所有的P的坐标与的方程；假如不存在，说明理由。解析：此题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以与椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系与方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：设 当的斜率为1时，其方程
6、为到的距离为 ，故 ， ， 由 ，得 ，=C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 知椭圆C的方程为+=6. 设() 假设上存在点P，且有成立，如此，整理得 故 将 于是 , =, ，代入解得，此时于是=， 即因此， 当时， ； 当时， 。当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.例3.2009某某卷本小题总分为14分直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。I求椭圆的方程；求线段MN的长度的最小值；当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？假如存在，确定点的个数，假如
7、不存在，说明理由I由得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设如此得，从而即又，由得故又，当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值由可知，当取最小值时， 此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线，如此由解得或练习：1.2008某某卷20题本小题总分为12分双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点I假如动点满足其中为坐标原点，求点的轨迹方程；II在轴上是否存在定点，使为常数？假如存在，求出点的坐标；假如不存在，请说明理由解：由条件知，设，解法一：I
8、设，如此，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是II假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有如此是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数练习2.08某某卷22) (本小题总分为14分)如图，设抛物线方程为x2=2py(p0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；当M点的坐标为2，-2p时，求此时抛
9、物线的方程；是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足O为坐标原点.假如存在,求出所有适合题意的点M的坐标；假如不存在,请说明理由.证明：由题意设由得，如此所以因此直线MA的方程为直线MB的方程为所以由、得因此，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.解：由知，当x0=2时， 将其代入、并整理得：所以x1、x2是方程的两根，因此又所以由弦长公式得又，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为或解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 如此CD的中点坐标为设直线AB的方程为由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，代入得假如Dx3,y3在
10、抛物线上，如此因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或1当x0=0时，如此，此时，点M(0,-2p)适合题意.2当，对于D(0，0)，此时又ABCD，所以即矛盾.对于因为此时直线CD平行于y轴，又所以，直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.练习3.2007某某理18 (本小题总分为14分)在平面直角坐标系中，圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为(1)求圆的方程； (2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长假如存在，请求出点的坐标；假如
11、不存在，请说明理由解： (1)设圆心坐标为(m，n)m0,如此该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，如此=2即=4 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 ，m2+n2=8 联立方程和组成方程组解得， 故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 (2)=5，a2=25，如此椭圆的方程为其焦距c=4，右焦点为(4，0)，那么=4。要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=，y=即存在异于原
12、点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。三、是否存在这样的直线例4.2007某某理19本小题总分为12分NOACByx在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于两点I假如点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；II是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？假如存在，求出的方程；假如不存在，说明理由此题不要求在答题卡上画图解析：本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的根底知识，考查综合运用数学知识进展推理运算的能力和解决问题的能力解法1：依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得由韦达定理得，于是，当时，假设满足条件的直线存在，其方程为，的
13、中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，如此，点的坐标为，NOACByxl，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线解法2：前同解法1，再由弦长公式得，又由点到直线的距离公式得从而，当时，假设满足条件的直线存在，其方程为，如此以为直径的圆的方程为，将直线方程代入得，如此设直线与以为直径的圆的交点为，如此有令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线练习1.双曲线方程为，问：是否存在过点M(1，1)的直线，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由。解：显然x=1不满足条件，设.联立和，消去y得，由0，得k，由M(1，1)为PQ的中点，得，解得，这与矛盾，所以不存在满足条件的直线l.四、是否存在这样的圆例5(2009年某某卷文)椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12，圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程；(2)求的面积；(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.【解析】1设椭圆G的方程为：
