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1、江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(200)(无答案)第一试一、填空题(每小题8分,共64分)1.设函数的定义域为,值域为。则区间长度的最小值为 。2.已知向量满足且。则的最小值为 3.若复数满足,则的最大值为 。4.设函数。若在区间上具有单调性,且,则的最小正周期为 。5.已知方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 条。6.已知高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形,点均在半径为1的同一球面上。则侧棱SA长度的最大值为 。7.设函数。定义如下:。记为的所有根的算术平均值,则 。8.已知数列。记,则= 。二、解答题(共56分)9.(16分)设常数
2、,函数存在反函数。若关于的不等式对所有的恒成立,求实数的取值范围。10.(20分)已知椭圆为原点,若动点A在椭圆C上,动点B在直线上,且,证明:点O到直线AB的距离为定值。11.(20分)已知知数列记为数列的前项和。求所有的正实数数对,使得加试一、(40分)用表示不超过实数的最大整数,已知为互素的正大整数。证明:二、(40分)在锐角中,已知AD为角平分线,M为边BC的中点,点P、Q在线段AD上,且,证明:当点P、Q变化时,的外心在一条定直线上。三、(50分)给定正整数数组,若对任意的,均有则集合称为“A好的”。定义为最大的正整数,使得集合可以分成两个集合满足且为A好的,为B好的。若数组满足且。证明:四、(50分)设且,记证明: