《新编北师大版数学必修五：数列在日常经济生活中的应用导学案含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新编北师大版数学必修五：数列在日常经济生活中的应用导学案含答案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新编数学北师大版精品资料第11课时数列在日常经济生活中的应用1.掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用.2.了解银行存款的种类及存款计息方式.3.体会“零存整取”、“定期自动转存”、“分期付款”等日常经济生活中的实际问题.4.感受从数学中发现美的乐趣,体验成功解决问题的快乐,激发学习数学的兴趣.某人有七位朋友.第一位朋友每天晚上都去他家看他,第二位朋友每隔一个晚上到他家去,第三位朋友每隔两个晚上去他家串门,第四位朋友每隔三个晚上去他家做客,依次类推,直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现.这七位朋友昨晚在主人家中碰面,请问他们还会在同一个晚上在主人家中碰面吗?我们来分析下,第一
2、位朋友每天晚上都在;第二位朋友第2,4,6,8,天在,是首项为2,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n;第三位朋友第3,6,9,天在,是首项为3,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n;第四、五、六、七位朋友在的时间的通项公式分别为an=4n,an=5n,an=6n,an=7n;要使他们在同一晚上出现,这个数应为这六个数列的公共项,即2,3,4,5,6,7的公倍数,而2,3,4,5,6,7的最小公倍数为420,因此第420,840,1260,天晚上他们会同时在主人家出现.问题1:数列应用问题的常见模型(1):一般地,如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时,那么该模型是等差模型,增加(
3、或减少)的量就是公差,其一般形式是:an+1-an=d(d为常数).(2):一般地,如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时,那么该模型是等比模型.(3):在一个问题中,同时涉及等差数列和等比数列的模型.(4):如果容易找到该数列任意一项 an+1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题.问题2:解题时怎样判断是用等差数列还是等比数列来求解?一般涉及递增率什么的,用到;涉及依次增加或者减少什么的,用到,或者有的问题是通过转化得到的,在解决问题时要往这些方面去联系.问题3:与银行利率相关的几类模型(1)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为a元,每期利
4、率为r,存期为x,则本利和.(2)银行储蓄复利公式:利息按复利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和.(3)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值.(4)分期付款模型a为贷款总额,r为月利率,b为月等额本息还款数,n为贷款月数,则b=.(尝试去证明)问题4:数列综合应用题的解题步骤(1)弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.(2)把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.(3)分别求解这些小题或这些小“步骤”,从而得到整个问题的解答.(4)将所求结果还原
5、到实际问题中.具体解题步骤如下框图:1.夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度,已知山脚气温为26度,山顶气温为14.1度,那么此山相对山脚的高度为()米.A.1600B.1700C.1800D.19002.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足关系式:Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,12),按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是().A.5、6月B.6、7月C.7、8月D.8、9月3.阿明存入5万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,那么10年后共得本息和为万元.(精确到0.001)4.一件家用电器,现价2
6、000元,实行分期付款,每期付款数相同,购买后一个月付款一次,共付12次,一年后还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少元(精确到0.01元)?等差数列模型某旅游公司年初用98万元购买一艘游艇,第一年各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年旅游收益50万元.(1)问第几年开始获利?(2)若干年后,有两种处理方案:年平均获利最大时,以26万元出售该游艇;总纯收入获利最大时,以8万元出售该游艇.问哪种方案合算.分期付款的等比数列模型陈老师购买商品房92 m2,单价为10000元/m2,首付432000元以后向银行申请住房商业贷款.经协商住房贷款实行分期付款,经过一年付款一次,共付
7、10次,10年后付清,如果按年利率7.5%,每年按复利计算,那么每年应付款多少元?(参考下列数据:1.07591.971,1.075102.061,1.075112.216)易错易混点(第几年的中低价房的面积与累计面积)假设某市:2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)哪年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于
8、85%?有若干台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的小麦,若同时投入工作到收割完毕需要24小时.现在这些收割机是每隔相同的时间顺序投入工作的,每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完.如果第一台收割机时间是最后一台的5倍,求用这种方法收割完这片土地的小麦需要多长时间?用分期付款方法购买电器一件,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完,若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花多少钱?为了建设和谐社会,我国决定治理垃圾.经调查,近10年来我国城市
9、垃圾的年平均增长率为3%,到2013年底堆存垃圾已达60亿吨,侵占了约5亿平方米的土地,目前我国还以年产1亿吨的速度产生新的垃圾,垃圾治理已刻不容缓.(1)问2004年我国城市垃圾约有多少亿吨?(2)如果从2014年起,每年处理上年堆存垃圾的,到2019年底,我国城市垃圾约有多少亿吨?可节约土地多少亿平方米?1.某放射性物质的质量每天衰减3%,若此物质衰减到其质量的一半以下,则至少需要的天数是(参考数据lg 0.97=-0.0132,lg 0.5=-0.3010)().A.22B.23C.24D.252.现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余钢管的根
10、数为().A.9B.10C.19D.293.小王每月除去所有日常开支,大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月初存入银行a元,存期1年(存12次),到期取出本息和.假设一年期零存整取的月利率为r,每期存款按单利计息.那么,小王存款到期利息为元.4.某商场今年销售计算机5000台.如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?1.(2012年北京卷)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为()A.5B.7C.9D.11考题变式(我来改编):2.(
11、2011年安徽卷)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.(1)写出Tn与Tn-1(n2)的递推关系式;(2)求证:Tn=An+Bn,其中An是一个等比数列,Bn是一个等差数列.考题变式(我来改编):
12、第11课时数列在日常经济生活中的应用知识体系梳理问题1:(1)等差模型(2)等比模型(3)混合模型(4)递推模型问题2:等比数列等差数列等差或等比数列问题3:(1)y=a(1+xr)(2)y=a(1+r)x(3)y=N(1+p)x问题4:(1)审题(2)分解(3)求解(4)还原基础学习交流1.1700从山脚到山顶气温的变化成等差数列,首项为26,末项为14.1,公差为-0.7,设数列的项数为n,则14.1=26+(n-1)(-0.7),解得n=18,所以山的高度为h=(18-1)100=1700(米).2.C由an=Sn-Sn-1解得an=(-n2+15n-9)(n2),再解不等式(-n2+1
13、5n-9)1.5,得6n0,即n2-20n+490,解之得10-n10+,即2.9n17.1.又nN+,n=3,4,17.当n=3时,即第3年开始获利.(2)年平均收入=40-2(n+),当n=7时,年均获利最大,总收益为84+26=110万元.当n=10时,f(n)max=102,总收益为102+8=110万元.比较两种方案,总收益都为110万元,但第一种方案需7年,第二种方案需10年,故选择第一种.【小结】建立数列模型与建立函数模型一样,应抓住数量关系,结合数学方法,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表示.探究二:【解析】设每年应付款x元,那么到最后一次付款时(即购房十年后),第一年付款及所生利息之和为x1.0759元,第二年付款及所生利息之和为x1.0758元,第九年付款及其所生利息之和为x1.075元,第十年付款为x元,而所购房余款的现价及其利息之和为1000092-4320001.07510=4880001.07510 (元).因此有x(1+1.075+1.0752+1.0759)=4880001.07510 (元),所以x=48800
