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1、第二轮复习函数、导数之一 存在与恒成立问题专题训练例1、已知函数 f (x )=ex , g(x)=lnx, h(x)=kx+b.(1)当b=0时，若对任意xw(0,%c)均有f(x)h(xpg(x2立，求实数k的取值范围；(2)设直线h(x ”曲线f(x )和曲线g(x)相切,切点分别为 A(xi,f(xi), B(x2,g(x2,其中均e ；当x *x2时，关于x的不等式a(x1 一1 )+xln xx之0恒成立，求实数 a的取值范围.例 2、已知函数 f (x )=-mx2+(2m+1 )xln x_1m(m w R ).(1)若函数g (x)= f (x j_x +1有一个极小值点和一
2、个极大值点，求m的取值范围；1(2)设m J ,右存在n三(1,2 ),使得当xW(0, n时，f (x )的值域是f(n )收)，求m的取值氾围.例3、已知函数 f(x)=lnx.(1)设 g (x 尸 f (x j_ax +1 , 讨论g(x)的单调性；(2)若不等式f (x )。时，令当6 = 4站一4M0即04y1时，力工口恒成立，即J 恒成立所以/阿在！ ，也1上单调递增当A = 4站一40,即上1 时，x2-2h+l = 0 ,两根 % 二?x e 1_ 所以/viox G (A - L、+-1/Vi0） /（= 一卜X-%2x由（i）知1fcMi时,/（1） （0,上单调递增，此
3、时无极值-+x-2k = x由，卜1 = 0得/-2灯+1=0A =北 一4 0,设两根即，则可+工小2* ,% =其中 /(力在！，和上递增，在(金，引上递减，在佝，收1上递增1 ?/ 1 =历& +- - 2应1 - , 1 , 1 ,1一十 /勺;Z2 J-，界如 + 一峋一金 + / 叼=加町 + 一 万 一 UU- 1 1Z (z) = Inx - 7 T(z 1)令13.3i(x)=-x0 f(r n.IZ(b = -力“ a-,求正数的取值范围.2e1 1【答案】(1)见解析(2)工(o；3 u (e )(2k + aXx - a)【解析】分析：(1)求出函数的导数f(x)= -
4、飞eg 通过讨论a的范围，求出函数的单调区间x即可；(2)求出f (x)的最大值，得到关于 a的函数，结合函数的单调性求出a的范围即可.、*晶/、/(2x - a)(x - a)详斛：(1) f(x) = i-a - 2x = -(x 0),XX当-2三awo时，f(x) F(x)v。；若1 mz F(x)0.，E(x)在(-(lx)上单调递减，在(1,-上单调递增.当。HgWl时，F(x)4。，f(x)在L/E)上单调递减；当al 时，若 F(x)yO;若 luxa, f(x) 0 ,二 f(x)在+ 8)上单调递减，在(1闻上单调递增.综上可知，当-Hawi时，f(x)在il,十间上单调递
5、减；当”-2时，f(xj在(；I的上单调递减，在(L.3上单调递增； 22当时，f(x)在+ 8)上单调递减，在(La)上单调递增.(2) - a0, 当 x)？时，f(x) 0 .Rx)mx=购=召门日 1 a-171,1.Tx。E (0,+ m),氏&)8-, alna -i a a -,即 fTlna 0,2e2e2e设 g(x) = x2lnx + ,或k) = 2xlnx 十 x = xnx + 1), 2e1i当 工时，当门 W时，g(x)c0 xc 一以乂%皿=虱。5=， i- j, i.a e (O.e ) u (c，+ 珂点睛：这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性，用导数
6、解决恒成立求参的问题；对于函数恒成立或 者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使 得函数最值大于或者小于 0;或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.例1、【答案】(1) J-, e I; (2)证明见解析； ak ln-x对xW(0,恒成立, x x、几ex- e x -1 i设 m(x 尸一(x 0),二 m (x 尸一，,xx2当 xW(0,1 )时 m(x)0 ,m(x )in =m(1In x1 -ln x仅 n(x)= (x 0),. n (x )=2, xx1当 x10,e)时 npA。；当 xw(e,+g)时
7、n，(x)父0 ,n(x )m =n(e 尸，Je故实数k的取值范围是1, e_e(2)由已知：fx)=e：由 y -ex1 =e (x x1踢：h(x )=e为 +(x x1,1.h (x )=x +1n x2 -1 ,x2，,.1一由 y -1n x2 =(xx2 碍:x2x 1ex1 =一故x2ex1 x1 -1 =1 -1n x2，xi 1,故：x2 e .：由知：x2 =e+ , xi-1 =x2 (1 -1n x2 jl. x2 e 1 ,由 a(x1 一1 )+x1n x -x 之0 得:a (x1 -1 )x -xln x , (x x2 )设 G (x )=x -xln x(
8、x x2 ),G x =1 -1n x -1 = -1n x ： 0,G (x昨1x2，收)为减函数,一G(x |ax =G(x2 f -x2 1nx2 ,由 a(x1 -1 )x2 -x21nx2 得:a(x1 -1 庐x2(1 -1n x2a(x1 一1 户(x -1),例2、【答案】(1)(2,十旬);1(2) 1 -1n 2 m 0),若函数g (x )有两个极值点，则方程h(x )=0必有两个不等的正根， 设为x1,x2 ,不妨设x| 0,解得 m 2 ,1x1 x2 = 0-2m则 g， 2m xx当 0x0, g(x)0, g(x )在(0, X)。为减函数；当 XixX2 时，
9、h(x)0, g(x )在(x,x2 )上为增函数;当 xx2 时，h(x)0, g(x )0 函数 g(x )在(x2,+a)上为减函数.由此，x=x)是函数g(x )的极小值点，x=x2是函数g(x)的极大值点.符合题意.综上，所求实数 m的取值范围是(2,+g卜x -1 2mx -1xf (x W (0,1 )上为减函数;2/ 、1 2mx t2m 1x1(2) f (x )=1 -2m (x -1=-i=xx当 m 0 时，2mx 1 0 ,当 0 x 1 时，f (x )1时， (x )0 , f (x及(1,十8广为增函数.所以，当 x(0, n(1n2)时，f (xin =f (
10、1 )=0Mf (n), f(x)的值域是 10, + ).不符合题意.12m x -1 J x当 0 1,即0cm1时，当x变化时，f(x), f (x )的变化情况如下表: 2m2x(01 )11 1 )1 11 2m)12m二，十出) 12m，)f(x)0+0f(x)减函 数极小值0增函数极大 值减函数11若满足题意，只需满足 f (2 ) f (1 ),且,1 -ln 2 ,且 m -一1 .1又 1 ln 2 a,所以 m 1 ln 2 ,此时 1 _ln 2 m -.42所以实数m的取值范围是1n20，则g (x)在(0, +s yh单调递增;当a 0时，令g (x )=0 ,解得x =3，a当xw|02M，g(x)0, g(x昨0I上单调递增，,a. a当 xw|L+aj 时，g *(x )0 ,当a Me时，F(x)0, F(x声(0,+J是增函数， F (x )0, F ,a -e当 xw,+g)寸，F(x)0, a -e，当x=时，F(x 最大值， a -e，满足In (ae )+b+1至0即可，：b-1 Tn a -e一之-(a
