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1、 二次函数的应用面积最大问题教学设计二次函数的应用面积最大问题。所用教材是山东教育出版社材九年级上册第三章第六节二次函数的应用，本节共需四学时，面积最大是第一节。下面我将从教材内容的分析、教学目的、重点、难点的拟定、教学措施的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行阐明。一、教学内容的分析1、地位与作用: 二次函数的应用自身是学习二次函数的图象与性质后,检查学生应用所学知识解决实际问题能力的一种综合考察。新课标中规定学生能通过对实际问题的情境的分析拟定二次函数的体现式,体会其意义,能根据图象的性质解决简朴的实际问题，而最值问题又是生活中运用二次函数知识解决最常用、最有实际应用价值的
2、问题之一,它生活背景丰富，学生比较感爱好，对于面积问题学生易于理解和接受,故而在这儿作专项讲座，为求解最大利润等问题奠定基本。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用问题。此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至后来学习更多函数打下坚实的理论和思想措施基本。2、学时安排教材中二次函数的应用只设计了个例题和一部分习题,无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的措施，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四学时,本节是第一学时。3.学情及学法分析 学生由简朴的二次函数yx2学习开始，然后是y=
3、ax2,yax2+c，最后是ya(x-)2,a（x-h）2+k，y=a2+bx+,学生已经掌握了二次函数的三种表达方式和图像的性质。对函数的思想已有初步结识,对分析问题的措施已会初步模仿,能辨认图象的增减性和最值,但在变量超过两个的实际问题中,还不能纯熟地应用知识解决问题,本节课正是为了弥补这一局限性而设计的,目的是进一步培养学生运用所学知识构建数学模型,解决实际问题的能力,这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。二、 教学目的、重点、难点的拟定教学目的： 、知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y(a0)的图象与性质,理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。 2过程与措施：经历“实际问题
4、转化成数学问题运用二次函数知识解决问题运用求解的成果解释问题”的过程体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活,又服务于 生活。 .情感态度、价值观:培养学生的独立思考的能力和合伙学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言体现能力,增进学生综合素质的养成。 教学重点：运用二次函数=（0)的图象与性质,求面积最值问题 教学难点:1、对的构建数学模型 、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用三、教学措施与手段的选择由于本节课是应用问题,重在通过学习总结解决问题的措施,故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主,必要时加以小组合伙讨论,充足调动学生学习
5、积极性和积极性，突出学生的主体地位,达到“不仅使学生学会,并且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率,展示学生的学习效果,合适地辅以电脑多媒体技术。四、教学流程 （一）请同窗独立完毕下面3个问题： 环节一：复习引入阶段我设计了三个问题:函数y=ax+bc(0）中,若a0,则当x=-时，y( ）= ；若a0,则当= 时，y( ) 。.（1）求函数y=2x22x的最值。 （)求函数yx2+23的最值。（0x ）3。如图，在边BC长为20cm，高AM为1的C内接矩形EFGH,并且它的一边FG在A的边BC上，E、F分别在AB、AC上，若设EF为xcm,请用的代数式表达H。解:矩形EH， EHB EH_。
6、又B上的高A交H于T。_,即=_。EH= 。设计思路通过复习题1让学生回忆二次函数的图象和顶点坐标与最值,通过做练习2复习求二次函数的最值措施-公式法、配措施、图象法,练习2（)的设计中,学生求最值容易想到顶点,无论是配方、还是运用公式都能解决；()中给了0x3,学生求最值时也许还会运用顶点公式求,忽视了0x,的限制，设计此题就是为了提示学生注意求解函数问题不能离开定义域这个条件才故意义，由于任何实际问题的定义域都受现实条件的制约,做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在顶点和两个端点之间选择，练习3复习相似三角形,把一条线段用X表达,为学习新课做好知识铺垫。 (二)探究新知: 新课
7、分为在创设情境中发现问题、在解决问题中找出措施、在巩固与应用中提高技能几种环节 1、在创设情境中发现问题 提问学生上面练习中第三题矩形EFG的最大面积是多少?学生在操作中发现矩形长、宽、面积不拟定,从而回忆起常量与变量的概念,最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决，而不是教师告诉她用函数。求一种面积最大的矩形,这个问题自身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇,又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习。 2、在解决问题中找出措施 这一环节我设计了探究活动一： 在上面练习题3中,若要使矩形EFGH获得最大面积，那么它的长和宽各是多少?最大面积是
8、多少？把矩形变成一种实际问题,目的在于让学生体会其应用价值我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的,并且要有理论根据，这样一方面要建立函数模型，在选用变量时学生也许会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量,就把其中的一种重要变量设为x，把另一种设为y,其他变量用含x的代数式表达,找出等量关系,建立函数模型，实际问题还要考虑自变量的取值范畴,画图象观测最值点,这样一步步突破难点,从而让学生在不断探究中悟出运用函数知识解决问题的一套思路和措施，而不是为了做题而做题，为后来的学习奠定思想措施基本。 想一想的设计让学生体会到不同的解设措施所得的最大面积是同
9、样的,图形的最大值只有一种。解决完想一想之后及时让学生总结措施，为变式训练打下思想措施基本。 3、在巩固与应用中提高技能 有一块三角形余料如图所示，C=0，AM=30c,AN=cm,要运用这块余料如图截出一种矩形BCD,问矩形的边长分别是多少时，矩形的面积最大? 我设计了两个问题:(1)设长方形的一边ABx m,那么AD边的长度如何表达？（)设长方形的面积为 m2,当x取何值时，y的值最大?最大值是多少?问题一的设计目的: 这个问题，学生在学习相似时见过同种类型,因此在课堂上要给学生留出某些思考和交流的时间，让学生充足发挥课堂的主体地位。在学生充足发挥自主摸索的能力后,教师要与学生共同协作完毕
10、题目的解答。这样做的目的是为学生在背面的学习起示范作用,协助学生在脑海中形成完整的解答过程。具体的过程如下：分析：(1)规定A 边的长度,即求BC边的长度,而BC是C中的一边,因此可以用三角形相似求出BC 。由EBCF,得即 ，因此A=BC= （40-x）。（2）规定面积y的最大值,即求函数yABADx(40x)的最大值,就转化为数学问题了。 下面由学生完毕解答过程。 我设计了一种问题:用什么措施求出D的长？学生容易想到三角形相似,而忽视了相等的角的三角函数值也相等，借助M或者MC的正切值也可以求出AD的长，然后让学生比较最优解题措施。 提出问题:解决此类问题你有什么心得? （一方面对题意进行
11、分析,找到变量间的关系,发现求面积就是求矩形的两条边,另一方面把两条边都用品有的代数式表达出来，最后带入面积公式将实际问题转化为数学问题，用数学的方式解决它。） 设计目的让学生及时回思，总结解题措施,达到举一反三的效果。2.问题二：将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会如何呢？” 问题二的设计目的:学生在是生活中遇到的问题是千变万化的,她们要有具体问题具体分析的能力，因此将问题进行一定变化后学生可以通过自己的分析独立解决此类问题。从而提高学生独立思考并解决问题的能力。分析:规定面积需求AB的边长，而ACD，因此需规定DC的长度,而C是MC中的一边，因此可以运用三角形相似来求，也可以借助
12、三角函数值相等求出。毕生板演。提出问题:矩形面积的最大值有何变化？让学生感知：同一实际问题中的最大值问题与所设的自变量无关，它是固定不变的的。设计阐明： 课堂上规定学生独立完毕这个问题的完整解答,请一、两名学生板演,再由其她学生进行点评,找出完美的解答过程。体现学生的自主摸索、合伙交流的意识与能力，也充足体现了生生评价的鼓励作用。3.问题三:对问题多次变式 问题三的设计目的：问题二的解答会使一部分学生完全按照问题一的格式套下来,此时她们还会有点不纯熟，但问题三则从另一种角度重新诠释了面积最大的问题。即让学生对这个问题重新进行审视又让学生彻底弄清此类问题的思考方式。让学生在课堂上看到了活生生的数
13、学问题,感受到数学与生活有着密切的联系,使学生真正领悟到数学的价值。在Rt0MN的内部作内接矩形ABCD,点A和D分别在两直角边上,BC在斜边N上。设矩形的边Bm，则AB边的长度如何表达?设矩形的面积为y2,当取何值时，的最大值是多少?提出问题：,在一种直角三角形的内部能找到两者的关系，因此该题要添加辅助线斜边上的高，转化为探究活动一的问题。活动目的：有了前面两题作基本,这个问题教师可以带领学生先行分析后留给学生自己解决,作为练习。课件展示规范的解题环节。为了培养优生,张扬学生的个性发展,设计了一种提高题:如图,已知AC是一等腰三角形铁板余料，其AB=A0，BC=24cm.若在A上截出一矩形零
14、件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边A、AC上.问矩形DEG的最大面积是多少?xxy4问题四:窗户通过的最大面积问题四的设计目的: 有关面积最大问题的基本训练前面已经波及,这里设计了提高题来提高学生解决问题的能力。某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长（图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?此时,窗户的面积是多少?教学预设:引导学生分析得出x为半圆的半径，是矩形的较长边,因此x与半圆面积和矩形面积均有关系,规定透过窗户的光线最多,也就是求矩形和半圆 的面积之和最大，即2xy2最大，而由于4y+4+3+x7x+4yx=15,因此=。面积S=+2y x2+2x 2-3.5x75，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可 实际教学效果:问题四中的数量关系，较前面3个问题,该题解决起来比较繁琐，教师要予以学生及时的指引和协助。此处设计了微视频，通过微视频让学生明确解题措施。
