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1、第 10 章 湍流边界层10.1 壁面湍流特性和速度分布规律当边界层内流体及管内流体处于层流流动状态时，流体受到壁面的限制仅仅表现在粘性切应力 作用下，进行粘性旋涡的扩散；而当处于湍流流动状态时，流体受到壁面的限制则是在粘性切应力 和湍流附加切应力的同时作用下，进行旋涡的扩散。 由于湍动旋涡的扩散速度远大于粘性旋涡扩 散的速度，因此，在相同条件下，湍流速度边界层的厚度要比层流速度边界层厚。 但在高雷诺数 的条件下，湍流速度边界层仍是贴近壁面的薄层，因此，建立湍流边界层方程的前提条件与层流时 相同。但是，由于两种切应力的作用，湍流速度边界层的结构要比层流速度边界层复杂得多。 因此， 一定要先了解
2、壁面湍流的分层结构和时均速度分布规律。10.1.1 壁面湍流分层结构及其特性在壁面湍流中，随着壁面距离的变化，粘性切应力和湍流附加切应力各自对流动的影响也发生 变化。 以 y 表示离开壁面的垂直距离，随着 y 的增加，粘性切应力的影响逐渐减小，而湍流附加 切应力的影响开始不断增大，而后逐渐减小。 这就形成了具有不同流动特征的区域。 壁面湍流速 度边界层可以分为内层（壁面区），包括粘性底层、过度层（重叠层）和对数律层（完全湍流层）； 外层，包括尾迹律层和粘性顶层（间歇湍流层）。 定义v * = v * （x）= w（10.1.1） p因为v *具有速度的量纲，故称为壁面切应力速度，它在湍流中是一
3、个重要的特征速度。以下对各 层的划分做详细说明。粘性底层：所在厚度约为0 y 5-，其内粘性切应力起主要作用，湍流附加切应力可以忽 v*略，流动接近于层流状态，因此在早期研究中称之为层流底层。 由于近期的实验研究，观察到该 层内有微小旋涡及湍流猝发起源的现象，因此称为粘性底层。过渡层：所在厚度约为5- y 30 -，其内粘性切应力和湍流附加切应力为同一数量级，流v *v*动状态极为复杂。 由于其厚度不大，在工程计算中，有时将其并入对数律层的区域中。对数律层：所在厚度约为30 - y 1030.26）,其内流体受到的湍流附加切应力大于粘 v*v *性切应力，因而流动处于完全湍流状态。由这三层组成
4、的内层，称为三层结构模式，若将过度层归入对数律层，则称为两层结构模式。外层中的尾迹律层和粘性顶层所在厚度分别约为103- y 0.46和0.46 y 6。对于尾迹 v*律层，层内流体受到的湍流附加切应力远远大于粘性切应力，流动处于完全湍流状态，但与对数律 层相比，湍流强度已明显减弱；对于粘性顶层，由于湍流的随机性和不稳定性，外部非湍流流体不 断进入边界层内而发生相互掺混，使湍流强度显著减弱，同时，边界层内的湍流流体也不断进入临 近的非湍流区，因此，湍流和非湍流的界面是瞬息变化的，具有波浪的形状。 因此，所谓湍流速 度边界层厚度5是平均意义上的厚度。实际上，湍流峰可能伸到8之外，而外流的势流也可
5、以深 入到5之内。这就是导致粘性顶层内的流动呈现间歇性的湍流，即在空间固定点上的流动有时是 湍流，有时是非湍流。10.1.2 光滑壁面内层的时均速度分布这个区域一般假设为常应力区域。 若用 y=2T表示无量纲离壁面距离，则对于光滑壁面,V存在如下无量纲函数关系：(10.1.2)V f ()=心+丿 v*其中V表示湍流的时均速度。x1粘性底层(0 y 5 ) v*这一层紧贴壁面，在早期的研究中一度认为该层流态是层流，直到最近才在研究中发现这一层 的流动中有小涡存在，湍流的猝发大都起始于该层。 该层中，湍流的附加切应力很小，通常可以 忽略不记。 根据 Prandtl 的混合长度理论，有：d Vt沪
6、(10.1.3)w t d y对上式进行积分，考虑到当y=0时，V二0，可以得到时均速度的分布式为： x_ ttV =-y =y(10.1.4)Xppv注意到无量纲速度和无量纲离壁面距离：_Vyv *v + =， y + =x V*V所以有V + = y +x可见，速度分布是线性的。 因此，粘性底层又称为线性底层。2.过渡层(5 V y 30 V )V*V*由于在该层中，两种切应力为同一数量级，流动现象极为复杂，分析起来也极为困难，因此通常由实验来确定时均速度的分布：V二 51 + In1 v* y V*5 v丿=3.05 + 5ln(10.1.5)3 对数律层(30 y 103 0.28)v
7、 *v*该层处于内层的外部区域。 由理论和实验研究表明，该层中，湍流附加切应力远远大于粘性 切应力，粘性切应力可以略去不计。 有：dv* t云dvP ZTm dy(10.1.6)对于内层，通常假设m二kv * y，代入上式，并且考虑到v* = v* 6冷，整理可得:v*dv(10.1.7)转换成相应的无量纲形式得(10.1.8)(10.1.9)d v +1xd y + ky+ 积分上式，得v + -丄1口 y + + Cx k通常根据实验取k=0.4, C=5.5 (或5)，于是对数律层的速度分布为v + - 2.5ln y + + 5.5(10.1.10)x如果采用不计过度层的两层结构模式，
8、可以认为粘性底层与对数律层的分界面在y + -10.8处,由于该处也属于粘性底层，因此有v + y + 10.8(10.1.11)x对式(10.1.8)进行积分得J 号 d v - 1 卜d y(10.1.12)10.8 x k 10.8 y +即1 y +v + -10.8 -ln(10.1.13)xk 10.8取k=0.41，整理上式，可得v + - 2.44ln y + + 5.0(10.1.14)x可见，上式与式(2)相符合，这说明了内层若按两层划分，只要适当选取粘性底层与对数律层的 分界面，所得的对数律层的速度分布与按三层划分的对数律层的分布是一致的。 可以看出对数律 层内的时均速度
9、分布是对数形式，虽然这是在某些限定的简化条件下得出的，但是却与实验相符合。10.1.3 外层时均速度分布dx根据实验观察，由于壁面的滞止作用，外层中的时均速度仍然低于边界层外的势流速度V,但 其受壁面的影响比内层要大大减弱，并且比较明显的受到沿壁面在流动方向上压力梯度叱的影响。当引用亏损速度V - v时，根据实验存在函数关系式：x( d p V - v 二 f t , p,8, y,y(10.1.15)x I wd x 丿1.尾迹律层(103 - y 0.48 )v*这一层中，流动已经完全进入湍流状态，湍流应力起主要作用。 湍流强度与对数律层相比已 经明显减弱。 这一层中的时均速度分布用亏损速
10、度来表示是：匕二=-ln 2 + A(10.1.16)v *k 8前面已经介绍过k=0.4，由实验研究表明，对于管内流动和边界层流动，k都是此值。而常数C 的数值对于这两种流动有明显的不同：对于管内的流动C沁0.65，而对于边界层流动C沁2.35。2粘性顶层( 0.48 y 其中yv*y+ =-Vv*咒二0.41或0.4，范德来斯特通过实验确定A+Av*=25.3由式(10.1.21)得2a1 + * 1 + 4a积分上式，并利用y +二0, v + = 0的边界条件，得x(10.1.22)2d y+v + =f y+x01 + 1 + 4 咒 2 y+2 1 一 exp(10.1.23)12
11、5.3 丿上式适用于粘性底层、过度层、对数层的整个内层区，称为内层关系式。 但是，由于它是积分形 式，因此应用起来不太方便。另外，1956 年 Coles.D 提出适合于整个边界层的时均速度分布关系式sj(10.1.24)可以看出，上式是在内层的对数律层时均速度分布的基础上加一修正项，由于湍流边界层中，压力梯度对外层特性影响明显，显然修正项与压力梯度d p成函数关系，称dx0川pt d xw为平衡参数，它反映了压力梯度的大小，将0为常数的湍流边界层称为平衡湍流边界层，否则为非平衡湍流边界层。 根据 Coles.D 的设想，认为式(10.1.24)中的 2 是反映压力梯度影响的剖面参数 称为尾迹
12、参数，口二口(0)。而Wfj称为尾迹律函数。Coles.D通过实验和计算得出了 Wf上j和n = n(0 )得近似函数拟合形式：Wf 2沁 2sin2f兀y 1=1 - cos兀21Is丿2 S丿1、sj口 u 0.8(p + 0.5)-75(10.1.26)不过，在0很大时，也可以认为口 u 1 + 2.1*0(10.1.27)将以上口二口G)和Wf上的经验函数表达式代入到式(10.C)中，就可以得出适合于整个湍流边界层的时均速度分布表达式。10.1.5 粗糙壁面的时均速度分布壁面的粗糙度对外层的时均速度分布的影响可以忽略。 因此，前面所介绍的外层时均速度规 律，对光滑和粗糙壁面都适用。 粗糙度的影响主要在内层。 根据 Prandtl 的推理，粗糙壁面时均 速度的分布取决于壁面切应力t，流体密度p，动力粘度卩，离壁面距离y，以及壁面粗糙高度a， w 而与壁面在流动方向上的压力梯度dp无关，即：dx(10.1.28)v = fQ , p, , y, A)xw由量纲分析得f yv * Av *、应用内层与外层交界处速度梯度相等的条件，建立等式v*(10.1.29)即：dff yv* Av*、yv*
