《概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案分析（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章多维随机变量及其分布、填空题1、随机点（X,Y）落在矩形域% xwx2,yi cywy2的概率为F(x2,y2)-F(x2,必)F(xi, yi) - F(x1, y2).2、（X,Y）的分布函数为F(x, y),F(-二，y) =03、（X,Y）的分布函数为F(x, y),F(x 0,y) = F(x, y)4、（X,Y）的分布函数为F(x, y),F(x,二)=Fx(x)5、设随机变量（X,Y）的概率密度为f (x, y) = k(6 - x - y) 0 x : 2, 2 二 y ： 4其它（X,Y）的分布如下，写出其边缘分布6、随机变量7、设f （x, y）是X ,Y的联合分布密
2、度，fX （x）是X的边缘分布密度,-be-：fx(x)8、二维正态随机变量（X ,Y） , X和Y相互独立的充要条件是参数9、如果随机变量（X,Y）的联合概率分布为则5 P应满足的条件是10、设X,Y相互独立,a4口 =_ _一 18一-128X N(0,1), Y N(0.1),则(X,Y)的联合概率密度1 必寸f(x, y)=_e-, Z=X+Y的概率密度21_x2fZ(Z)=2 .2e12、设（1、n）的联合分布函数为A 111c CA 2 -2 -2 x _ 0, y _ 0F(x,y)=(1+x+y)(1+xf(1+y)则 A =_10、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字
3、1,2,2,从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为X ,第二次取的球上标的数字 Y ,求（X,Y）的联合分布律一 一1 八解：PX =1, Y =103，、11PX =1, Y =2=1 = 33，、2 11PX =2,Y =1=3 23，、2 11PX = 2, Y =2二一一二一3 23X为投入1号信箱的信数，Y为投入22、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设号信箱的彳t数，求（X ,Y）的联合分布律解：X的可能取值为0,1,2,3Y的可能取值为0,1,2,3,、1PX =0,Y =0 3PX3=0，丫=733PX =0,Y =2=Cl33333PX-0,
4、 Y =333PX3= 1,Y =0=/3 2PX =1,Y =1 =丁PX= 1,Y =233PX =1, Y = 3 = 0r, C；PX =2,Y =0 = 33PX= 2,Y =1PX =2,Y =3 =0PX3、设PX =2, Y =2 =0维随机变量的函数由。并说明理?= 3,Y= 3,Y =3 =0函数33合分布解:F(x , y)不机变量的联合分布函数因 P0 1= F(2 , 1)-F(0 , 1) -F(2,0) + F(0,0)+ 0 = -1 0F(x , y)不机变量的联合分布函数。4、设 g(x)N0,且g(x)dx=1,有 f (x, y)/g77；?, 0 x，
5、y .0,其它证明：f (x, y)可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。 25 证明：易验证f(x,y)20,又J f f(x,y)dxdy=(、一，_：_：、，00二2g(、x2 y2)二,.x2 y2dxdyin二 g(r)-herdr = 0 g(r)dr = 1符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。5、在0, n上均匀地任取两数X与丫，求Pcos( X +丫)0的值。解：f (x, y)=口，0 一 x, y 一 二in0,其它 二3 二 3Pcos( X +Y) 0 = P- X +Y )=-2246、设随机变量(X,Y)的密度函数为f (x, y)=
6、0, y 0其它(1)确定常数(2)求(X,Y)的分布函数(3)求 P0X 1,0Y 2解： 0dy 0 ke43x4y)dx=112k e %y e dx = k e y 。： - 1 e 力。： 43(2)F(x,y) = 0y 0x12e3dudv =12 (1 1x)(1 ly)=(1 -ex)(1 -ey)x0, y 0F(x, y) =0 P0 :二 X 1, 0 Y 三 2 = F(1,2) F(0,0) - F(1,0) - F(0,2)=(1 -e)(1 -e) 0 =0.950217、设随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y) = 2. _x xy /30_x-1,0
7、-y-2其它求 PX Y - 1解：PX Y _1=122 xyf(x,y)dxdy= 0dx1 (x)dy0 I xx y 101X 4 25 3、，65= ( x x )dx = 0 236728、设随机变量(X,Y)在矩形区域D =( x, y) |a x b, c y d内服从均匀分布,(1)求联合概率密度及边缘概率密度.(2)问随机变量X,Y是否独立?解：(1)根据题意可设(X,Y)的概率密度为f (x,y)=M a ： x : b, c ： y : d其它-be -ba1! 一！ f(x, y)dxdy = M dx dy = M(b-a)(d - c)_ ,a c(b -a)(d
8、 -c)，故 f (x, y)=1/(b - a)(d - c) a:二 x : b, c :二 y : d其它fx (x)=.f(x,y)dy 二Jdyc (b -a)(d - c)即 fx (x)L a x；b其它fy(y)=二 f (x, y)dxb dxa (b -a)(d -c)即 fY(y)1/(d -c)其它(2)因为f (x, y) = fX(x)丫(丫)，故X与Y是相互独立的.9、随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y) = *,x - 0, y - 00,其它求:(1)边缘密度；(2)验证X,Y是否独立。解：(1) cF(x, y)/cx = ln3x(3 -3), d
9、2 F (x, y)/dxq = ln 2 3 M 3“一yx 0, y 0.10、f (x, y)=fX (x)=ln2 3 3_x-yx 0,0 y其它ln23 3ady =ln3 3 x 0其它ln2 3 3dx-ln3 39 ,y 0其它(2)因为f(x, y) = fX (x) fY(y),故X与Y是相互独立的.电子器件包含两部分，分别以X ,Y记这两部分的寿命（以小时记），设（X ,Y）的分布函数为 F(x, y)= 120, Y 120解：(1)Fx(x) =F(x,二):-0.01x1 -ex -0FY(y) =F*,y)= -0.01y1 -e易证 FX(x)FY(y) =F
10、(x, y),故 X,Y 相互独立.（2）由（1） X,Y相互独立PX 120, Y 120PX 120PY 120 =1 -PX 三120 1-PY 4 120=0.091=1 -Fx(120)1 -Fy(120) =e2xy11、设随 机变量 化，力的分布 函数为F(x,y) =A(B+arctg)(C + arctg)求：(1 ) 23系数A , B及C的值，(2 )值,)的联合概率密度中(x , y)。解：(i ) F(二，二)二A(B J(C J =1F(-二，二)=A(B-)(C -) =0F(二,一二)=A(B -)(C-) =0,-11- 二由此解得A = 2 , B = C
11、=,二226(2 ) (x ,y) =-22-二 2(4 x2)(9 y2)12、设(X,Y)相互独立且分别具有下列表格所定的分布律11X-2-10Y1322Pk1111R11143123244试写出(X,Y)的联合分布律.解:13、设X,Y相互独立，且各自的分布律如下:X12Y1211R11Pk22 29 22求Z = X +Y的分布律.解：PX=k=Pkk= 0,1,2,PY = =q =0,1,2,Z=X+Y 的分布律为 PZ=i=Pkqi =0,1,2，Z的全部取值为2,3,4，、，1 11PZ =2 =PX =1,Y =1 =PX =1PY =1:2 24PZ =3 =PX =1,Y
12、 =2 PX =2,Y =111111= PX =1PY =2 PX =2PY =12 - 2 = 2，、，1 11PZ =4 = PX =2,Y =2 = PX =2PY = 2：2 2414、X,Y相互独立，其分布密度函数各自为fX(X)= 2e ,01X2 x -01e3 fY(y) = 3,0y -0y : 0求2 =X +Y的密度函数解：Z = X +Y 的密度函数为 fZ (Z)=：fX (x) fY (Z x)dx ,由于fX(x)在x之0时有非零值，fy(Zx)在Z x20即x MZ时有非零值,故fX (x) fY(Z x)在0 E x E Z时有非零值Z 1 -e 6dx0 6Z 1 3 1 LfZ (Z)e 2 e 3 dx = e0 23Z xZZ= e 3_e，Z =e -e6)当 Z W0 时，f (Z) = 0上 土故 fZ(Z)= e3(1-e 6)Z 00 Z 0
