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1、“船渡河”中的“最值”问题例1 一条宽为的河流，河水流速为，船在静水中的航速为。（1）要使船以最短时间过河，船头应指向什么方向？此时用时是多少？（2）要使船划到对岸时航程最短，船头应指向什么方向？最短航程是多少？为了研究好这类问题，先说明三个速度及其之间的关系。取船在静水中的速度为，河水流速为，、的合速度为，则。可以写成，因此，静水速度为船相对流水的速度；有人将静水速度也称为船的划水速度。船头所指的方向应为静水速度方向。下游图11（1）认为河岸是平直的，水流速度是平行河岸的，这样，水流速度与船过河所需的时间是无关的。船过河所需的时间取决于静水速度垂直于河岸方向的分速度。要使船以最短时间过河，船
2、头应垂直指向河岸，此时用时是/。（2）这里“要使船划到对岸时航程最短”需分为三种情况讨论。时，可作出图11，看出能保证是垂直河岸的，这时最短的航程是河宽。这时船头应指向斜向上游的图示方向，其中，。上游图12时，这里只是从理论上说，参见图11，船头指向趋近于沿河岸，航程最短，；但此时用时。 时，先说说解析式分析。参见图12所示， 设和方向夹角为，取船沿河岸方向速度为（），垂直河岸方向速度为。渡河时间为 沿河岸方向通过距离为 因路程 这样，研究“最短路程”，即为研究的最小值。而极值的解析式分析对中学生来说是不方便的。图13下面通过作图分析，巧妙地解决了这一难题。参见图13，以箭头处为圆心，取长度为
3、半径作圆弧；过作该圆弧的切线，切点与箭头处的连线即表示，矢量线段即表示船的合速度，方向为最短航程的方向。图14不妨对“方向为最短航程的方向”作一反证法说明。图13中虚线为不失一般性的满足和的船的合速度方向，显见“非方向”的航程总要大于“方向” 的航程；若船的合速度与正轴方向夹角大于图13中，看起来好像航程更短，但却不能满足，即不可能实现。进一步处理，参见图14，看出与相似，有，最短航程。图21例2 有一小船位于宽的河边，在其下游处河流变为瀑布。假设河水流速为，为使小船能安全渡河，船相对于静水的速度不能小于多少？参见图21所示，设静水速度、水流速度大小分别为、。 由式除以式， 得 图22令，可得 取（），有最小值。图23再参见图22所示，看出，（），满足条件的最小静水速度应垂直于。再参见图23所示，利用速度合成图与几何尺寸图相似，。2
