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1、FGfnN专项一 万有引力有关问题一、地球表面物体随处球自转地球表面上的物体随处球自转,物体受到的重力只是地球对物体的万有引力F的一种分力。万有引力的另一种分力是使物体随处球自转的向心力fn。即F=G+n由于fnG，可以觉得重力近似等于万有引力,即，方向可以觉得是竖直向下。重力G的平衡力是地面对物体的支持力N。ABChdO由于地球自转因素的影响,地球两极表面重力加速度g最大，赤道表面重力加速度g 最小,两者的差就是赤道处物体随处球自转的向心加速度an,即(R为地球半径,T为地球自转周期。）二、重力加速度与物体离地面高度h或地面下深度d的关系若忽视地球自转。设地球半径为R，地球表面A处重力加速度
2、为g。设地面上空高h的B处重力加速度为；由, 因此OgrRg0设地面下方深的C处重力加速度为g。由于质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零,因此上图中,点如下白色部分地球对物体的引力就是该物体受到的重力，不同深度处相应的引起重力的地球质量,因此，得综上所述，重力加速度g与离地心距离的函数关系图线如右。*联想:均匀带正电的实心球体，各处场强E与到球心距离r的图线与上图完全相似！但要注意,如果是均匀带正电金属球，内部场强就到处为零了！图线R左侧为零，只有右侧才与上面图线相似。三、人造卫星和宇宙速度绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所受的万有引力就是向心力，也就是重力,即 =G=fn。由此可推出二级
3、公式:、，注意r、v、t、a是一一相应的。当=时,相应的速度就是第一宇宙速度km/s若给出了引力势能的体现式，则可推出第二宇宙速度kms*联想:若某星球的第二宇宙速度不小于光速,意味着任何物质都无法离开该星球,连光子都无法射出，即外界无法观测到该星球,这就是黑洞。形成黑洞的条件是人造卫星的变轨，分渐变和突变两类。渐变问题一方面要分析是做离心运动还是做向心运动，即一方面要鉴定轨道半径r的变化是增大或减小。渐变过程的每一周仍可视为圆周运动,因此上述人造卫星的二级公式都能用。在分析渐变后能量变化时要注意,卫星的机械能也许不再守恒。动能、势能和机械能的变化要分别用不同的措施鉴定:动能看速度大小的变化；
4、势能看引力做功的正负；机械能看有无其他能参与转化。例如：由于稀薄空气阻力而变轨，卫星将做向心运动，减小，v增大，动能增长；引力做正功，势能减少;有摩擦生热,即有机械能转化为内能，因此机械能减少。又如:按某种假说,万有引力常量G在逐渐变小,引起太阳系中地球到太阳距离会发生变化，这种变轨是离心运动。突变往往发生在需要变化卫星轨道高度的时候。例如由近地圆轨道卫星通过两次点火加速，变轨成为圆轨道同步卫星；或者航天器要从太空返回地球时,由较高圆轨道变轨回地球,需要将发动机喷口改为向前，向前喷出燃气,使卫星减速。*联想：与玻尔理论对照，卫星轨道的突变与电子在不同轨道间跃迁遵从同样的规律。四、双星问题双星的
5、最大特点有两个：由于向心力是由双星间万有引力F提供的,因此两星所受的向心力大小F一定相等。双星都绕空间同一种固定点做圆周运动，因此双星与该点总保持三点共线，在相似时间内转过的角度必相等,即双星做匀速圆周运动的角速度相等,周期T也相等。由F=m2,得，得;线速度r。列方程时特别注意:万有引力部分的体现式中的r应当是双星间的距离,往往用L表达;某一星球所需向心力的体现式中的表达它们各自做圆周运动的半径，应分别记为r1、r2,r1r2=L。联想：如果是三星系统，则其中每颗星做圆周运动的向心力由此外两颗星对它的万有引力的合力提供。五、运用万有引力定律可以求中心星球的质量和密度设中心星球质量为,半径为R
6、，环绕星球质量为m,线速度为v，公转周期为T，两星球相距r,根据万有引力定律：，得,由r、T可求出中心星球的质量。若将中心星球看做均匀球体，由,可得中心星球的平均密度；如果环绕星球离中心星球表面很近，满足rR，那么中心星球的平均密度。六、开普勒定律r1r2v2v11所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一种焦点上。对任意一种行星,它与太阳连线在相等时间内扫过相等的面积(如右图，在远地点和近地点处 -）。.所有行星轨道长半轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等（T 2a3）。万有引力练习题假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,己知地球到太阳的距离不不小于火星到太阳的距离,那么 .
7、地球公转周期不小于火星的公转周期 B地球公转的线速度不不小于火星公转的线速度 C地球公转的加速度不不小于火星公转的加速度 .地球公转的角速度不小于火星公转的角速度2假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为0、在赤道的大小为,地球自转的周期为。则地球的半径为A C D.3静止在地面上的物体随处球自转做匀速圆周运动。下列说法对的的是 A.物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心 物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等 C物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度 D物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相似Ox甲R4.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物
8、体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心,以为原点建立坐标轴O,如图甲所示。一种质量一定的小物体（假设它可以在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表达，则图乙所示的四个F随x的变化关系图对的的是 5木星绕太阳的公转，以及卫星绕木星的公转,均可以看做匀速圆周运动。已知万有引力常量,并且已经观测到木星和卫星的公转周期。规定得木星的质量，还需要测量的物理量是A.太阳的质量 B.卫星的质量C木星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径 D卫星绕木星做匀速圆周运动的轨道半径6.（18分）万有引力定律揭示了天体运动规律与地球上物体运动规律具有内在一致性。（1）用一弹簧秤称
9、量一种相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化也许会有不同的成果。已知地球质量为M,自转周期为，万有引力常量为。将地球视为半径为R,质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时,弹簧秤的读数是。a若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为，求比值的体现式,并就的情形算出具体数值(计算成果保存两位有效数字)；b若在赤道地面称量,弹簧秤的读数为，求比值的体现式；(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为,太阳的半径为和地球的半径R三者均减小为目前的,而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球间的互相作用，以现实地球的1年为原则，计算“设想地球”的一年将变为多长?7运用万有引
10、力定律可以测量天体的质量。(）测地球的质量英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地运用扭秤装置,比较精确地测量出了引力常量的数值，她把自己的实验说成是“称量地球的质量”。已知地球表面重力加速度为，地球半径为R,引力常量为G。若忽视地球自转的影响，求地球的质量。ABO(2）测“双星系统”的总质量所谓“双星系统”,是指在互相间引力的作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的两个星球A和B，如图所示。已知A、间距离为，A、B绕O点运动的周期均为,引力常量为,求A、的总质量。（)测月球的质量若忽视其他星球的影响,可以将月球和地球当作“双星系统”。已知月球的公转周期为1,月球、地球球心间的距离为L1。你还可以
11、运用（1）、（）中提供的信息，求月球的质量。8万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一,运用它我们可以进行许多分析和预测。3月8日浮现了“木星冲日”。本地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学称之为“木星冲日”。木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动,木星到太阳的距离大概是地球到太阳距离的5倍。下列说法对的的是木星运营的加速度比地球的大B.木星运营的周期比地球的小C下一次的“木星冲日”时间肯定在D下一次的“木星冲日”时间肯定在Oab.航天员王亚平曾经在天宫一号实验舱内进行了中国初次太空授课，通过几种趣味实验展示了物体在完全失重状态下的某些物理现象。其中一种实验
12、如图所示,将支架固定在桌面上，细绳一端系于支架上的点,另一端拴着一颗钢质小球。现轻轻将绳拉直但未绷紧，小球被拉至图中a点或b点。根据所学的物理知识判断浮现的现象是在a点轻轻放手,小球将竖直下落B.在a点沿垂直于绳子的方向轻推小球,小球将沿圆弧做往复摆动C.在b点轻轻放手,小球将沿圆弧做往复摆动D.在b点沿垂直于绳子的方向轻推小球,小球将做圆周运动10.黑洞密度极大,质量极大，半径很小,以最迅速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接拟定黑洞的存在。严格解决黑洞问题需要运用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人运用牛顿力学体系预言过黑洞的存在。假定黑洞为一种质量分布均匀的
13、球形天体。我们懂得,在牛顿体系中,当两个质量分别为m、m2的质点相距为r时也会具有势能,称之为引力势能,其大小为(规定无穷远处势能为零）。请你运用所学知识，推测质量为M的黑洞，之因此可以成为“黑”洞，其半径R最大不能超过多少？1假定地球为密度均匀分布的球体，忽视地球的自转，已知地球的半径为。理论和实验证明:质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零。求:地面上方高h的山顶处和地面处重力加速度大小之比gAg0;.地面下方深h的矿井底B处和地面处重力加速度大小之比gg。.若已知某单摆在地面处做简谐运动的周期与在某矿井底部做简谐运动的周期之比为k。求该矿井底部离地面的深度d。 12. 图14(a)(
14、2分）随着科学技术水平的不断进步,相信在不远的将来人类可以实现太空移民。为此，科学家设计了一种巨型环状管道式空间站。空间站绕地球做匀速圆周运动，人们生活在空间站的环形管道中，管道内部截面为圆形，直径可达几千米,如图14（a)所示。已知地球质量为M,地球半径为，空间站总质量为m,G为引力常量。空间站环绕地球做圆周运动的轨道半径为R,求空间站在轨道上运营的线速度大小；环形管道r1图14(b)r2为解决长期太空生活的失重问题，科学家设想让空间站环绕通过环心并垂直于圆环平面的中心轴旋转，使在空间站中生活的人们获得“人工重力”。该空间站的环状管道内侧和外侧到转动中心的距离分别为r1、r2,环形管道壁厚度忽视不计,如图14()所示。若要使人们感受到的“人工重力”与在地球表面上受到的重力同样(不考虑重力因地理位置不同而产生的差别且可觉得太空站自转时中心轴静止)，则该空间站的自转周期应为多大；AB地球图14(c)为进行某项科学实验,空间站需将运营轨道进行调节，先从半径为2R的圆轨道上的A点（近地点）进行第一次调速后进入椭圆轨道。当空间站通过椭圆轨道点(远地点)时,再进行第二次调速后最后进入半径为3R的圆轨道上。若上述过程忽视空间站质量变化及自转产生的影响，且每次调速持续的时间很短。
