反证法从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法它是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。
应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆例1.[05.北京]设是定义在上的函数，若存在使得在上单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间 对任意的上单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。
求证：对任意的若，则为含峰区间；若则为含峰区间；【巧证】：设为的峰点，则由单峰函数定义可知在上单调递增， 在上单调递减 当时，假设，则从而 这与矛盾，所以，即是含峰区间 当时，假设，则，从而 这与矛盾，所以，即是含峰区间例2. 求证：函数f(x)=sinx的最小正周期是2π．【巧证】：由诱导公式知，对任意x∈R，有sin(x＋2π)=sinx，即2π是函数sinx的一个周期．下面再用反证法证明2π是sinx的最小正周期，假设还有一个正数T也是sinx的周期，且0＜T＜2π，则对任意x∈R都有sin(x＋T)=sinx．特别地，对x=0，有sinT=sin0=0，而在(0，2π)中，只有T=π才使sinT=0，但π不是sinx的周期，故sinx的最小正周期是2π．注：若直接证明比较困难，因适合0＜T＜2π的正数有无穷多个，我们无法直接验证．当“反设”中断言某些性质对于变量的一切值都成立时，显然对变量的一些特殊值也成立，故常赋予特殊值，便可得到一些等式或不等式，从而推得矛盾，反证原命题．1＋x≥2y，且1＋y≥2x．两式相加，得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，即2≥x＋y，这与已知矛盾，故注：“集合M中至少有一个元素m不具有性质a”的否定是“集合M中所有元素都具有性质a”．反之亦对．因为“集合M中至少有一个元素不具有性质a”，它包含了“M中有一个元素不具有性质a、两个元素不具有性质a……所有元素都不具有性质a”等各种情形．因此它的否定是“M中所有元素都具有性质a”．如“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”的否定是“三角形中所有内角都小于60°”．注意“都不是”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一个是”．如“a、b都不是零”的否定是“a，b中至少有一个是零”．∴C＜B＜A≤60°．∴A＋B＋C＜180°，这不可能．例5. [88.全国理]给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。
分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设巧证】： ① 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x,假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x∵x≠x ∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾， 因此假设不对，即直线MM不平行于x轴② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图像注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 【巧证】：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = -a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0例7. 求证：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交． 【巧证】：如图1-8-6，设平面α∥β．直线AB∩α=A，下面用反证法证明AB与β相交．假设AB与β不相交，则必须考虑两种情形：(1)若AB∥β，过AB作平面γ，使β∩γ=CD，则AB∥CD．∵AB∩α=A，∴A∈α，且A∈γ，设α∩γ=AB'．又α∥β，∴AB'∥CD，于是在平面γ内过A点有两条直线AB与AB'分别平行于直线CD，这和平行公理矛盾．∴AB不能平行于平面β．相交于过点A的一条直线，但与已知α∥β矛盾，∴AB不在β内．由(1)、(2)可知，直线AB与平面β相交．注：用反证法证题时，如果欲证命题的反面只有一种情况，那么只要将这种情况驳倒即可，这种反证法又叫归谬法；如果结论的反面不仅有一种情况，就必须把所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫穷举法．巧练一：1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根2. 已知a<0,－1ab> ab B. ab>ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab>a3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____97年全国理)A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种十三、反证法巧练一：【巧解】：1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C－C×4－3－6,选D巧练二：设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于巧练二：【巧证】：设(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,则三式相乘：ab < (1 - a)b•(1 - b)c•(1 - c)a < ①又∵0 < a, b, c < 1 ∴同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a•(1 - b)b•(1 - c)c≤ 与①矛盾∴原式成立巧练三：若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。
试求实数a的取值范围巧练三：【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案巧解】： 设三个方程均无实根，则有：,解得,即－