高中数学建模研究论文

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1、高中数学建模研究论文数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河 中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象 性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性， 自进入 21 世纪的知识经济时代以来，数学科学的地位发生了巨大的变化，它正 在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展， 数学理论与方法的不断扩充使得数学已成为当代高科技的一个重要组成部分，数 学已成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力也成为数学 教学的一个重要方面。目前国际数学界普遍赞同通过开展数学建模活动和在数学教

2、学中推广使用 现代化技术来推动数学教育改革。美国、德国、日本等发达国家普遍都十分重视 数学建模教学，把数学建模活动从大学生向中学生转移是近年国际数学教育发展 的一种趋势。“我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其它 学科的联系未能给予充分的重视，因此，高中数学在数学应用和联系实际方面需 要大力加强。”我国普通高中新的数学教学大纲中也明确提出要切实培养学生解 决实际问题的能力，要求增强应用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问 题。这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要。因此我们的 数学教学不仅要使学生知道许多重要的数学概念、方法和结论，而且要提高学生 的思维能力

3、，培养学生自觉地运用数学知识去处理和解决日常生活中所遇到的问 题，从而形成良好的思维品质。而数学建模通过”从实际情境中抽象出数学问题， 求解数学模型，回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际”这一过 程，促使学生围绕实际问题查阅资料、收集信息、整理加工、获取新知识，从而 拓宽了学生的知识面和能力。数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中， 是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一，是 改善学生学习方式的突破口。因此有计划地开展数学建模活动，将有效地培养学 生的能力，提高学生的综合素质。数学建模可以提高学生的学习兴趣，培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚 强意志

4、，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。具体的调查表明，大1部分学生对数学建模比较感兴趣，并不同程度地促进了他们对于数学及其他课程 的学习有许多学生认为：”数学源于生活，生活依靠数学，平时做的题都是理 论性较强，实际性较弱的题，都是在理想化状态下进行讨论，而数学建模问题贴 近生活，充满趣味性”；”数学建模使我更深切地感受到数学与实际的联系，感 受到数学问题的广泛，使我们对于学习数学的重要性理解得更为深刻”。数学建 模能培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实 际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软 件的能力；独立查找文献，自学的能

5、力，组织、协调、管理的能力；创造力、想 象力、联想力和洞察力。由此，在高中数学教学中渗透数学建模知识是很有必要 的。那么当前我国高中学生的数学建模意识和建模能力如何呢？下面是节自有 关人士对某次竞赛中的一道建模题目学生的作答情况所作的抽样调查。题目内容 如下：某市教育局组织了一项竞赛，聘请了来自不同学校的数名教师做评委组成评 判组。本次竞赛制定四条评分规则，内容如下：（1）评委对本校选手不打分。（2）每位评委对每位参赛选手（除本校选手外）都必须打分，且所打分数 不相同。（3）评委打分方法为：倒数第一名记 1 分，倒数第二名记 2 分，依次类推。 （4）比赛结束后，求出各选手的平均分，按平均分从

6、高到低排序，依此确定本次竞赛的名次，以平均分最高者为第一名，依次类推。本次比赛中，选手甲所在学校有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评 分，其他选手所在学校无人担任评委。（）公布评分规则后，其他选手觉得这种评分规则对甲更有利，请问这种 看法是否有道理？（请说明理由）（）能否给这次比赛制定更公平的评分规则？若能，请你给出一个更公平 的评分规则，并说明理由。本题是一道开放性很强的好题，给学生留有很大的发挥空间，不少学生都有 精彩的表现，例如关于评分规则的修正，就有下列几种方案：2方案 1：将选手甲所在学校评委的评分方法改为倒数第一名记 1+分，倒数第 二名记 2+，依次类推；（评分标准）方案 2

7、：将选手甲所在学校评委的评分方法改为在原来的基础上乘以； 方案 3：对甲评分时，用其他评委的平均分计做甲所在学校评委的打分； 然而也有不少学生为空白，究其原因可能除了时间因素，学生对于较长的文字表述产生畏惧心理、不能正确阅读是重要因素。同时，一些学生由于不能正确 理解规则（3），得出选手甲的平均得分为，其他选手的平均得分为，从而得出错 误结论 .不少学生出现“甲所在学校的评委会故意压低其他选手的分数，因而对 甲有利”的解释，而没有意识到作出必要的假设是数学建模方法中的重要且必要 的一环。有些学生在正确理解题意的基础上，提出了“规则对甲有利”的理由， 例如：排名在甲前的同学少得了 1 分；甲所在

8、学校的评委不给其他选手最高分（n 分），所以甲得最高分的概率比其他选手高；相当于甲所在学校的评委把最高分 给了甲；甲少拿一个分数，若少拿最低分，则有利；若少拿最高分，则不利；等 等。以上各种想法都有道理，遗憾的是大部分学生仅仅停留在这些感性认识和文 字说明上，没能进一步引进数学模型和数学符号去进行理性的分析。如何衡量规 则的公平性是本题的关键，也是建模的原则。很少有学生能够明确提出这个原则， 有些学生在第 2 问评分规则的修正中，提出“将甲所在学校的评委从评判组中剔 除掉”，这种办法违背实际的要求。有些学生被生活中一些现象误导，提出“去 掉最高分和最低分”的评分规则修正方法，而不去从数学的角度

9、分析和研究。通过对这道高中数学知识应用竞赛题解答情况的分析，我们了解到学生数学 建模意识和建模能力的现状不容乐观。学生在数学应用能力上存在的一些问题： （1）数学阅读能力差，误解题意。（2）数学建模方法需要提高。（3）数学应用 意识不尽人意数学建模意识很有待加强。新课程标准给数学建模提出了更高的要 求，也为中学数学建模的发展提供了很好的契机，相信随着新课程的实施，我们 高中生的数学建模意识和建模能力会有大的提高！那么高中的数学建模教学应如何进行呢？数学建模的教学本身是一个不断 探索、不断创新、不断完善和提高的过程。不同于传统的教学模式，数学建模课 程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以

10、问题为主线、以培养能力为 目标来组织教学工作。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分折和解决问3题的全过程，提高他们分折问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和 应用数学的意识与能力。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好的问题， 引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，主动 探索解决之法。教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他 们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，强调的是获取新知识的能力， 是解决问题的过程，而不是知识与结果。（一）在教学中传授学生初步的数学建模知识。中学数学建模的目的旨在培养学生的数学应用意识，掌握数学建模的方

11、法， 为将来的学习、工作打下坚实的基础。在教学时将数学建模中最基本的过程教给 学生：利用现行的数学教材，向学生介绍一些常用的、典型的数学模型。如函数 模型、不等式模型、数列模型、几何模型、三角模型、方程模型等。教师应研究 在各个教学章节中可引入哪些数学基本模型问题，如储蓄问题、信用贷款问题可 结合在数列教学中。教师可以通过教材中一些不大复杂的应用问题，带着学生一 起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验。例如在学习了二次函数的最值问题后，通过下面的应用题让学生懂得如何用 数学建模的方法来解决实际问题。例：客房的定价问题。一个星级旅馆有 150 个 客房，经过一段时间的经营实

12、践，旅馆经理得到了一些数据：每间客房定价为 160 元时，住房率为 55%，每间客房定价为 140 元时，住房率为 65%，每间客房定价为 120 元时，住房率为 75%，每间客房定价为 100 元时，住房 率为 85%。欲使旅馆每天收入最高，每间客房应如何定价？简化假设（1）每间客房最高定价为 160 元；（2）设随着房价的下降，住房率呈线性增长；（3）设旅馆每间客房定价相等。建立模型设 y 表示旅馆一天的总收入，与 160 元相比每间客房降低的房价为 x 元。由 假设（2）可得，每降价 1 元，住房率就增加。因此由可知于是问题转化为：当时，y 的最大值是多少？4求解模型利用二次函数求最值可

13、得到当 x=25 即住房定价为 135 元时， y 取最大值 13668.75（元），讨论与验证（1）容易验证此收入在各种已知定价对应的收入中是最大的。如果为了便 于管理，定价为 140 元也是可以的，因为此时它与最高收入只差 18.75 元。（2）如果定价为 180 元，住房率应为 45%，相应的收入只有 12150 元，因此 假设（1）是合理的。（二）培养学生的数学应用意识，增强数学建模意识。首先，学生的应用意识体现在以下两个方面：一是面对实际问题，能主动尝 试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，学习者在学习的过程 中能够认识到数学是有用的。二是认识到现实生活中蕴含着大量的数

14、学信息，数 学在现实世界中有着广泛的应用：生活中处处有数学，数学就在他的身边。其次， 关于如何培养学生的应用意识：在数学教学和对学生数学学习的指导中，介绍知 识的来龙去脉时多与实际生活相联系。例如，日常生活中存在着“不同形式的等 量关系和不等量关系”以及“变量间的函数对应关系”、“变相间的非确切的相 关关系”、“事物发生的可预测性，可能性大小”等，这些正是数学中引入“方 程”、“不等式”、“函数”“变量间的线性相关”、“概率”的实际背景。另 外锻炼学生学会运用数学语言描述周围世界出现的数学现象。数学是一种“世界 通用语言”它能够准确、清楚、间接地刻画和描述日常生活中的许多现象。应让 学生养成运

15、用数学语言进行交流的习惯。例如，当学生乘坐出租车时，他应能意 识到付费与行驶时间或路程之间具有一定的函数关系。鼓励学生运用数学建模解 决实际问题。首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模 型纳入某知识系统去处理，当然这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相 当的观察、分析、综合、类比能力。学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情， 需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断的引导学生用数学思维的 观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具 体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使 数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。通过教师的潜移默化，经常渗透5数学建模意识，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应 用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能 力。（三）在教学中注意联系相关学科加以运用在数学建模教学中应该重视选用数学与物理、化学、生物、美学等知识相结 合的跨学科问题和大量与日常生活相联系(如投资买卖、银行储蓄、测量、乘车、 运动等方面 )的数学问题，从其它学科中选择应用题，通过构建模型，培养学生 应用数学工具解决该学科难题的能力。例如，高中生物学科以描述性的语言为主， 有的学生往往以为学好生物学是与数学没有关