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1、空洞定位的几种解法向为 王瑛 伍微国防科技大学 四院一队摘要：本文提出了图解排除法，及基于线性方程组的空洞定位方法(主要方法)。对第二种方案，先网 格化得到超定的线性方程组，后用最小二乘法解之。在试图减少波源和接收器时，我们确定了若干基本原 则，为机器判定作了准备。一 问题描述一块2 4 0 X 2 4 0的平板(如图)，在AB边等距地放置7个波源Pi( i=1.7),CD 边对等地安放7个接收器Q(j=1.7),记录由Pi发出的弹性波达到Qj的时间t j (秒) ij在AD边等距地放置7个波源Ri (i=1.7) ,BC边对等地安放7个接收器Sj (j=1.7), 记录由Ri发出的弹性波达到
2、Sj的时间t劝(秒)(如图1)。已知弹性波在介质和空气 中的传播速度分别为2 8 8 0 (米/秒)和3 2 0 (米/秒)，且弹性波沿板边缘的传播 速度于在介质中的传播速度相同。1) 确定该平板内空洞的位置。2) 仅根据由Pi发出的弹性波达到Qj的时间t. (i=1.7),能确定空洞的位置吗？讨 论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接收器的方法。二基本假设1假设所测时间数据真实无错误，但是有一定的误差。 2假设平板可划分化为网格，空洞定位于每个网格单元内。三变量描述WaveLine,:第 l 条波线，即以 PiQj 为第 l =(i-1)*7+j 条波线，以 RiSj 为第 l =(
3、i-1)*7+j+49 条波线；( l =1. 98)Timel :测得的弹性波沿 WaveLinel 的传播时间；Length l: WaveLinel 的长度；Holel :沿 WaveLinel 的空洞的长度；MeshgridUnitk:第k个网格单元，具体表示如图2； (k=1.36)图2X : MeshgridUnit的空洞权值，X =0时，表示MeshgridUnit内无空洞，X =1时, k k k k k表示 MeshgridUnit 内有空洞；WaveLineInUnit : WaveLine 被 MeshgridUnit 所截得的长度，即 WaveLine 在lk l k
4、lMeshgridUnit k 内的那部分长度。四思路及解法数据初步处理：由弹性波的物理传播方式可得：（HO l 320)+(Ln g 丄片 O l)e 2880 = Tlli m e(i =i98)l运行C程序GetHoleLength.cpp（见附录）可求得Hole?，矩阵Hole l见附录。 由于真实的Holei三0,分析数据得出误差限为9.0120米。 若算出空洞长度小于误差限的可认为没有空洞。方案一：图解排除法若Hole, W9.0120m,则用直线连接与l对应的PiQj或RiSj,得图3如下: 由基本假设 2.知：直线通过的网格单元内不存在空洞， 无直线通过的网格单元内（图3 中阴
5、影区）可能存在空洞。由于 R5S6 通过一个阴影网格单元，故 MeshgridUnit8 内有空洞；8由于 P5Q6 通过一个阴影网格单元，故 MeshgridUnit23 内有空洞；由于 P4Q5 通过一个阴影网格单元，故 MeshgridUnit16 内有空洞；由于 P1Q4 通过一个阴影网格单元，故 MeshgridUnit20 内有空洞；由于 P3Q7 通过一个阴影网格单元，故 MeshgridUnit27 内有空洞；由于 P1Q7 间空洞长度为 160.8296 米，且通过三个阴影网格单元，故 MeshgridUnit21 , MeshgridUnit 26 内有空洞；由于 R4S5
6、 间空洞长度为 86.5502 米，且通过二个阴影网格单元，故 MeshgridUnit15 内 有空洞。根据已求出的Hole 1可知，洞径均在40米左右，可认为以上8个方格内几乎充满空洞。 注：本方案 C 源程序见附录。方案二：基于线性方程组的空洞定位法准备阶段：1从经典的线性方程组定位方法（如 CT 图像重建等）出发，本题的波线似 乎应该有一定的线宽。但是，考虑到实际的波线线宽远小于山体等自然物， 同时，弹性波的传播速度不会因为线宽的改变而改变。所以，弹性波的波 线线宽可忽略不计。（参考书目1）2 由于波线线宽忽略不计，实际中应该这样处理：左右网格单元邻边属于右 侧网格单元，上下网格单元的
7、邻边属于上侧网格单元。3. 运行 C 程序 LinelnHole.c 可求得 WaveLinelnUnit。lk4. 前面已经求出了 Holel 。记 A = waveLLneInUnnt m x n算法实施：X = X（空洞权值矩阵）bHolmx1就本题而言， m=98, n=36。因为对WaveLinel空洞长度守恒，有:）AX = b 这是一个超定方程组，理论上可用最小二乘法解决，即求1m i n2AX -b 22实际中，我们使用 MATLAB 软件的 mldivide（ ）和 lsqnonneg 两个函数分别求解 得： （注：A 的秩 rank（A）=36； A 的条件数 cond（A
8、）= 10.9753）0.08480.0215-0.2578-0.17920.12090.15700.10070.7820-0.02830.0275-0.17450.0904-0.1002-0.06031.06341.0929-0.0109-0.1762-0.21650.89050.98360.15010.8431-0.13930.07900.66341.0162-0.0046-0.17870.05160.16110.0724-0.3398-0.17980.15800.1367法一：使用左除()得到空洞权值X为(注：将Xk填到相应的MeshgridUnitk中得下 表)法二：使用非负最小二乘(
9、lsqnonneg)得到空洞权值X为(注：将X k填到相应的MeshgridUnit ” 中得下表）0.018700000.06170.04560.85020000000.95631.00030000.77960.88690.06490.824400.01680.87930.84110000.05720000.01880.0738在 A 的秩为 36，条件数不太大(即矩阵不是严重病态)的情况下，我们认为， 在误差范围内，凡是接近0的Xk即可认为0,接近1的Xk即可认为1。误差限为 =9.0120/40=0.2253, 即:若Xk (1 ),则认为对应的网格单元几 乎被空洞充满；若Xk e(0
10、)，则认为对应的网格单元几乎被介质充满；若Xk不 属于上述范围,则表明无法确定。对比两种方法的结果,法二优于法一。法二的结果表明,在 MeshgridUnitk (k=8,15,16,20,21,23,26,27)内有空洞。(如图 4)下面考虑去掉一些波源和接收器的情况：1.仅根据由Pi发出的弹性波达到Qj的时间J (i=l7),不能确定空洞的位置。 理由如下：1) 可能无法确定空洞的纵坐标。特例如下：只有若干平行于 AB 边的狭窄长条行空洞。若空洞非常窄，则每条波线(WaveLine)通过空洞的长度都相等。显然仅由tij无法确定空洞的纵坐标。2) 我们知道在(*)式中，A是无误差的，而b是有
11、误差的。如果A严重病态, 由此求出的X显然是不可靠的。在仅根据由Pi发出的弹性波达到Qj的时间t.（i=l7）的情况下，m=49, n=36,求得A的条件数为4.3400x1016,已严重病 态，故无法确定空洞的位置，或即使能确定，也是不可靠的。就本题而言，我们用MATLAB软件得到空洞权值X如下：0.17770.0939000.10340.131800.718100.00020000.02070.98721.04730000.74480.920600.7133000.76360.647800.032100.01510.07870000.0001其中， X27=0.6478 超出了误差范围，不
12、可确定。虽然基本上也得到了近似的结果，但是，我们认为这是由于本题数据的特殊 性造成的巧合，不具备一般性。2 讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接收器的方法。显然，网格越稀疏，能减少的波源和接收器就越多，同时，这是以减小精度为 代价的；并且，对称等距地减少波源和接收器远不如不等距减少的方法好；即使是 去掉相同个数的波源和接收器，也会因为去掉的波源和接收器不同而有不同效果； 另外，如果去掉的波源和接收器太多，（）式为欠定方程组，无确定解。针对本题，我们认为能够确定空洞位置的前提为：矩阵A不是严重病态。减少波源和接收器的基本原则为：a经验推测原则；b非对称不等距原则；c非严重病态原则；d
13、超定方程组原则。减少波源和接收器的基本方法为：按基本原则遍历。举例如下：示例一：去掉P3 P6 Q2 Q4 R3 R5 S2 S4 （非对称不等距），所得A的条件 数为174.4463，并非严重病态，得到空洞权值X如下：00000001.02510.0791000001.00081.033500.08250.06201.02600.92810.02860.78100.048200.96500.950900000.05580000这是一个相当不错的结果。示例二：去掉P3 P5 Q3 Q5 R3 R5 S3 S5 （对称等距），所得A的条件数为 1.7991x1016，严重病态，得到空洞权值X如下
14、：0.022700.011100000.41030.368500.25510001.16680.4936000.00670.65751.80160.11541.17350.123800.12800.95080000.050900000这是一个非常糟糕的结果。与真实结果相比，X显然已完全失真。两相对比，前述的基本原则的正确性与重要性得到了验证，同时这些基本原则又有 力地保证了第一问结论的正确性，因为在那里A的条件数相当小。注：本方案C源程序(LinelnHole.c)见附录。五评价及推广评价：方案一思路简单清晰，逻辑性强，以图形方式表示，一目了然；但是，此方案仅适合 于粗略定位，当网格细化时，工作量将非常大，不利于推广。方案二基于线性方程组定位，模型合理，理论性强，精度提高或工程庞大时，该方案 仍能胜任，适于推广与实际应用。推广：实际工程中，在处理类似空洞定位的问题时，无论是要提高精度，还是要减少波源和接 收器，方案二都将是十分出色的。此方案的思想可广泛应用于医学、地质学及土木工程等领
