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1、 南昌大学第五届高等数学（文科类）竞赛试题序号 姓名 学院 专业 学号 考试日期： 2008.9.21 题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分1515101010121414100得分注：本试卷共六页，八道大题，考试时间为8:30-11:30.得分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）评阅人 1函数 在点处可导，则_,_.2设，则 .3曲线 上对应于点处的法线方程是 .4 .5设，则 .二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）得分评阅人 1下列命题中正确的命题有几个？
2、 .（1）无界变量必为无穷大量； （2）有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； （4）无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量 1 2 3 42把时的无穷小量，排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 . 3当时，曲线 . 有且仅有水平渐近线 有且仅有铅直渐近线 既有水平渐近线，又有铅直渐近线. 既无水平渐近线，又无铅直渐近线.4设是函数在区间上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，则极限 . 1 5设是连续函数的一个原函数，则必有 . 是奇函数的充分必要条件是是偶函数 是偶函数的充分必要条件是是奇函数 是周期函数的充分必要条件是是周期函
3、数 是单调函数的充分必要条件是是单调函数三、（本题满分10分）得分评阅人 求极限 四、（本题满分10分）得分评阅人 设，且，求.得分五、（本题满分10分）评阅人 设是由抛物线与轴所围成的区域，直线将区域分成面积相等的两部分，求的值.六、（本题满分12分）得分评阅人 设，求定积分得分七、（本题满分14分）评阅人 研究方程在区间内实根的个数.得分八、（本题满分14分）评阅人 设在区间上连续可导，且试证明：.南昌大学第五届高等数学(文科类)竞赛试题参考答案 一、填空题(每题3分，共15分) 1 ， 2. 3. 4. 5. 二、选择题(每题3分，共15分) 1 2 3 4 5 三、（本题满分10分） 解: 四、（本题满分10分）解: 设，则，即于是 由，得.故 .五、（本题满分10分）解: 除了原点，设直线与抛物线交于，那么，即 ，又 联立，解得 ， . 六、（本题满分12分） 解: 在方程中，令，得再在方程两端对求导，得，因此， 七、（本题满分14分） 解: 设函数， 令，得函数的驻点由于，所以 ， 因此，得函数的性态 若，即时，函数在、内各有一个零点，即方程在内有3个实根 若，即时，函数在、内各有一个零点，即方程在内有2个实根 若，即时，函数在有一个零点，即方程在内有1个实根八、（本题满分14分） 证明：设，则 ；.令，则有， 故 .
