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1、解题规范与评分细则1若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_解析：f(x)6x22ax2x(3xa)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上递增，又f(0)1， f(x)在(0，)上无零点当a0时，由f(x)0解得x，由f(x)0解得0x，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0,2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.3已知函数f(x).(1)求曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程；(2)证明：当a1时，f(x)e0.4.已知函数f(x)
2、ln(x1)，其中a为常数(1)当10时，求g(x)xlnln(1x)的最大值解析：(1)函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)，x1.当12a30，即1a时，当1x0时，f(x)0，f(x)单调递增，当2a3x0时，f(x)0，即a时，当1x2a3时，f(x)0，则f(x)在(1,0)，(2a3，)上单调递增，当0x2a3时，f(x)0，则f(x)在(0,2a3)上单调递减综上，当1a时，f(x)在(1,2a3)，(0，)上单调递增，在(2a3,0)上单调递减；当a时，f(x)在(1，)上单调递增；当a2时，f(x)在(1,0)，(2a3，)上单调递增，在(0,2a3)上单调递减(2)g(
3、x)ln(1x)xlnxg，g(x)在(0，)上的最大值等价于g(x)在(0,1上的最大值 所以直线l的斜率k1.10已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0)，点B在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：yk(x4)(k0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程解析：(1)由F2(1,0)，知c1，由题意得所以a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)因为yk(x4)，所以直线l过定点(4,0)，由椭圆的对称性知点G在直线xx0上当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，)，所以直线l的斜
4、率k，由得或所以N，由(1)知A1(2,0)，A2(2,0)，所以直线lA1M的方程为y(x2)，直线lA2N的方程为y(x2)，所以G，所以G在直线x1上当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(34k2)x232k2x64k2120，所以(32k2)24(34k2)(64k212)0，得k，x1x2，x1x2，易得直线lA1M的方程为y(x2)，直线lA2N的方程为y(x2)，当x1时，得2x1x25(x1x2)80，所以0显然成立，所以G在直线x1上11已知平面直角坐标系内两定点A(2，0)，B(2，0)及动点C(x，y)，ABC的两边AC，BC所在直线的
5、斜率之积为.(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)设P是y轴上的一点，若(1)中轨迹E上存在两点M，N使得2，求以AP为直径的圆的面积的取值范围解析：(1)由已知，kACkBC，即，所以3x24y224，又三点构成三角形，所以y0，所以点C的轨迹E的方程为1(y0)(2)设点P的坐标为(0，t)当直线MN的斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t.当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykxt(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由2得x12x2.联立得得(34k2)x28ktx4t2240，当0得64k2t24(34k2)(4t224)0，整理得t28k26.所以x1x
6、2，x1x2，由，消去x1，x2得k2.则解得t26.不妨取M(2，0)，可求得N，此时t，由(1)知y0，故t22.综上，t22或2t26.又以AP为直径的圆的面积S，所以S的取值范围是.12已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值解析：(1)解：由角的终边过点P，得sin .所以sin()sin .(2)解：由角的终边过点P，得cos .由sin()，得cos().由()，得cos cos()cos sin()sin ， 所以cos 或cos .13已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos
7、 2的值；(2)求tan()的值解析：(1)解：因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.(2)解：因为，为锐角，所以(0，)又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2.因此，tan()tan2().14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinBasinA(ca)sinC.(1)求B；(2)若3sinC2sinA，且ABC的面积为6，求b.解析：(1)由bsinBasinA(ca)sinC及正弦定理，得b2a2(ca)c，即a2c2b2ac.由余弦定理，得cosB，
8、因为B(0，)，所以B.(2)由(1)得B，所以ABC的面积为acsinBac6，得ac24. 由3sinC2sinA及正弦定理，得3c2a，所以a6，c4.由余弦定理，得b2a2c22accosB36162428，所以b2.15已知函数f(x)12sincos2cos2，ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求f(A)的取值范围；(2)若A为锐角且f(A)，2sinAsinBsinC，ABC的面积为，求b的值解析：(1)f(x)sinxcosx2sin，f(A)2sin，由题意知，0A，则A，sin，故f(A)的取值范围为(1,2162018全国卷记Sn为等差数列an的前n项和
9、，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解析：(1)解：设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为ana1(n1)d2n9.(2)解：由(1)得Snnn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.17已知数列an是等差数列，a26，前n项和为Sn，bn是等比数列，b22，a1b312，S3b119.(1)求an，bn的通项公式；(2)求数列bncos(an)的前n项和Tn.解析：(1)数列an是等差数列，a26，S3b13a2b118b119，b11.b22，数列bn是等比数列，bn2n1.b34，
10、a1b312，a13，a26，数列an是等差数列，an3n.(2)由(1)得，令Cnbncos(an)(1)n2n1，Cn1(1)n12n，2，又C11，数列 bncos(an)是以1为首项、2为公比的等比数列，Tn1(2)n18已知数列an满足：(32n1)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3，求.解析：(1)(321)3，当n2时，因为(32n1)(32n21)32n1，当n1，32n1也成立，所以an.(2)bnlog3(2n1)，因为，所以.19已知数列an满足：a11，an1an.(1)设bn，求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解析：(1)由an1an，可得，又bn，bn1bn，由a11，得b11，累加可得(b2b1)(b3b2)(bnbn1)，即bnb11，bn2.(2)由(1)可知an2n，设数列的前n项和为Tn，则Tn，Tn，得Tn2，Tn4.易知数列2n的前n项和为n(n1)，Snn(n1)4.20已知各项均不相等的等差数列an的前四项和S414，且a1，a3，a7成等比数列(1)求数列an的通项公式(2)设Tn为数列的前n项和，若Tnan1对一切nN*恒成立，求实数的最大值解析：(1)设数列an的公差为d(d0)，由已知得，解得或(舍去)，所以ann1.(2)由(1)知，所以Tn.又Tnan1恒成立，所
