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1、线性代数概念性质定理公式整理概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆r（A）nA勺列（行）向量线性无关A勺特征值全不为0Ax只有零解x,AxRn,Ax总有唯一解ATA是正定矩阵AEAp1P2psR是初等阵存在n阶矩阵B,使得ABE或ABE:全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间、A不可逆r（A）nA0A的列（行）向量线性相关0的特征向量0是A的特征值Ax有非零解，其基础解系即为A关于aEbAr(aEbA)(aEbA)x=-abn有非零解具有 反身性、对称性、传递性向量组等价矩阵等价（）矩阵相似（:）矩阵合同（；）称为？n的标准基，？n中的自然基，单位坐标向量p翡,
2、87；ee,en线性无关；e,e2,en1;trE=n;任意一个n维向量都可以用e1,e2,en线性表示、aiiai2Laina2ia22La2nMMManian2Lann行列式的定义 DnAB（拉普拉斯展开式）(1)mn A B(1)(jlj2Ljn)aia2iLanij12j2njnjlj2LjnV行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之与、推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之与等于零、AO=AOBOB若A与B都就是方阵（不必同阶）,则OA=ABOBO上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上
3、元素的乘积、ainOaina2niNa2nin（ni）（I）-a1na2nKani（即：所后取自小同行小同OaniO关于副对角线：Nani列的n个元素的乘积的代数与）iiLiXiX2LXn2Xi2X2L2XnXiXjMMMijnniXiniX2LniXn范德蒙德行列式矩阵的定义由maiiai2Laina2ia22La2nMMMamiam2Lamnn个数排成的m行n列的表A称为mn矩阵、记作：Aajmn或Amn伴随矩阵TAjAiA2Ani入2MAj为A中各个元素的代数余子式、AinA2n主L换位副L变号V逆矩阵的求法iab1dbcdadbcca(AIE)初等行变换_i(EMA)aiaia2a2a
4、2a2a3a3iaiV方阵的哥的性质：AmAn(Am)n(A)mn,设Amn,Bns,A的列向量为2,n,B的列向量为则ABCmsDib2iMb12b22Mbisb2sMCi,C2,Lq，(i1,2,L,s)AxCi的解bnibn2bnsAi,A2,AsG,C2,L,CsCi,C2,L,Cs可由i,2,n线性表示、即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵、同理：C的行向量能由aii&2LainiCiaiiia122Lain2Cia2ia22La2n2C2a2iia222La2n2C2MMMMMLLLanian2Lamnncmamiiam22Lamn2，AT为系数矩阵、B的行向量线性表
5、示即:的对角线上的各元素依次乘此矩阵的,相当于用V用对角矩阵向量;用对角矩阵由乘一个矩阵的对角线上的各元素依次乘此矩阵的例）向量、V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘、V分块矩阵的转置矩阵：分块矩阵的逆矩阵：分块对角阵相乘：AAiATBTCTDT,BAiCBiBiiABAiiBiii_iBiCAiA22B22，AnAniAn2分块对角阵的伴随矩阵*BA*AB*A(1)ABB(1)mnBAV矩阵方程的解法(A0):设法化成AXB或(II)XAB(I)的解法：构造(AMB)初等行变换(EMX)(II)的解法：将等式两边转置化为ATXTBT,用(I)的方法求出XT,再转置得X零向量就是
6、任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交、单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关、部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关、(向量个数变动)原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关、(向量维数变动)两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p弱,114向量组1,2,n中任一向量i(1wiWn)都就是此向量组的线性组合、向量组1,2,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示、向量组m维列向量组1,2, , n线性相关r(A) n；m维列向量组2, , n线性无关r( A) n、n线性无关，而1, 2 ,n,线性相关，则可由1, 2,
7、 n线性表示，且表示法唯一、矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩、行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数、n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n1个向量线性表示、行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0;每个台阶只有一行，台阶数即就是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零、当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其她元素都就是0时，称为行最简形矩阵?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系、即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩、V矩阵的初等变换与初等矩阵的关系对A施行一次初等呢变换得到的矩阵，等于
8、用相应的初等矩阵乘A;对A施行一次初等例)变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵0)乘A、矩阵的秩如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r、记作r(A)向量组的秩向量组1, 2,L , n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩、记作r(2 ,L ,n)矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B、记作：A %B向量组等价n可以相互线性表示、记作:1 , 2,% 1, 2, n? 矩阵A与B等价 PAQB,P,Q可逆r(A)r(B), A, B为同型矩阵A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价、矩阵A与B作为向量组等价r( 1 , 2 ,n) r(1,
9、2,n) r( 1,2,矩阵A与B等价、? 向量组1,2,s可由向量组1 , 2,n线性表示AXB有解r(n)= r(r ( 1, 2 ,s) W r(2, n)、? 向量组2,s可由向量组1 , 2,n线性表示，且s n，则1, 2,s线性相关、向量组2,s线性无关，且可由2, n线性表示，则sW? 向量组2,s可由向量组1 , 2,n线性表示，且r(s)r( 1, 2, , n)，则两向量组等力I；p教材94,例10?任一向量组与它的极大无关组等价、向量组的任意两个极大无关组等价、?向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定、若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数
10、相等、设A就是mn矩阵，若r(A)m,A的行向量线性无关；若r (A) n , A的列向量线性无关，即:1 , 2,n线性无关、V矩阵的秩的性质：若AOr(A)1若AOr(A)00&r(Amn)&min(m,n)r(A)r(AT)r(ATA)P教材101，例15r(kA)r(A)若k0若Amn,Bns,若r(AB)0r(A)r(B)nB的列向量全部是Ax0l勺解r(AB)wminr(A),r(B)逆若B可逆r(AB)r(B)r(AB)r(A)即:可逆矩阵不影响矩阵的秩、Ax只有零解若r(Amn)r(AB)r(B)A在矩阵乘法中有左消去律ABOBOABACBC若r(Bns)r(AB)r(B)B在
11、矩阵乘法中有右消去律.若r(A)rA与唯一的ErOO等价，称ErOOO为矩阵A勺等价标准型、Or(AB)wr(A)r(B)maxr(A),r(B)wr(A,B)wr(A)r(B)P教材70rAOAOr(A)r(B)Cr(A)r(B)B可由1,2,L,n线性表示Ax有解r(A)r(AM)Ax有无穷多解表示法不唯一Ax2,L,n线性相关有唯一组解当A为方阵时Ax当A为方阵时0有非零解克莱姆法则表示法唯不可由1, 2,L , n线性表示 Ax 无解r(A) r(A) r(A)r(AM ) r(AM )1 r(AM )Ax有无穷多解其导出组有非零解Ax有唯一解其导出组只有零解1， 2，教材72讲义87L , n线性无关Ax只有零解丸LainXb1ja21a22La2nx2b22j,x,jMMMMMjMam1am2Lamnxnbmmj线性方程组的矩阵式向量式Axxi,j1,2,L,nAxi1x22L xn n(1,2,L,n)x2Mxn矩阵转置的性质：(AT)TA(AB)TBTAT(kA)TkATATIA(
