布洛赫定理及它的指导意义

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1、JISHOU UNIVERSITY体物理期末考核报告布洛赫定理及它的指导意义布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯布洛赫(Felix Bloch ) 而得名。布洛赫波由一个平面波和一个周期函 数u(r)(布洛赫波包)相乘得到。其 中u()与势场具有相同周期性。布洛赫波的具体形式为：机矿)=elferw(r).式中k为波矢。上式表达的波函数称为 布洛赫函数。当势场具有晶格周期性 时，其中的粒子所满足的波动方程的 解寸存在性质：+ 风)=a 区 &(r)这一结论称为布洛赫定理(Blochs theorem)，其中为晶格周期矢量。可以看出，具有上式性质的波函 数可以写成布洛赫函数的形式。平面波

2、波矢k （又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的 乘积即为粒子的 晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢渊区中所有能量本征态的集合 周期性势场中电子运动的宏观构成性质体结构中，布洛赫波矢k是 速度为守恒量。换言之，在完 整品量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通 常只考虑第一布里渊区内的波 矢。 对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子 的能带，常用波函数的下标n以区别。这些能带的能量在k的各个单值区分界处 存在有限大小的空隙，称为能隙。在第一布里 了电子的能带结构。在单电子近似的框架内， 都可以根据能带结构及相应的波函数计算出

3、。个守上述结果的一个推论为：在确定的完整品 恒量（以倒易点阵矢量为模），即电子波的群 体中，电子运动可以不被格点 散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似）， 晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期 性的晶体缺陷。从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符 （Hamiltonian）与平移算符（translation）的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的 本征波函数总是 可以写成布洛赫函数的形式。更广义地说，本 征函数满足的算符作用对称关 系是 群论中表示理论的一个特例。夫（Alexander Lyapunov个领域有着不同的名称：诺夫-弗洛凯定理”）;equation ）。在量子力学建立

4、以后，布洛赫波的概念由菲利克斯布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次 提出的，但其数 学基础在历史上却曾由乔治威廉希尔（George William Hill， 1877年），加斯东弗洛凯（Gaston Floquet，1883年）和亚历山大李雅普诺，1892年）等独立地提出。因此，类似性质的概念在各 常微分方程理论中称为弗洛凯理论（也有人称“李雅普 一维周期性波动方程则有时被称为希尔方程（Hills 布洛赫（F.Bloch ）和布里渊（Brillouin ）等人就致力于研究周期 场中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子的能带理论奠定了基础，下面我们作些 简单介绍。一个在周期场中运动的

5、电子的波函数应具有什么特点？布洛赫定理指出了在周期 场中运动的电子波函数的特点。必须我们知道，在一维情形下，周期场中运动的电子能量E （ k ）和波函数麻 满足定态薛定谔方程-5-+顼龙将川)=州dxk 波数，表示电子波的波数U (x ) 周期性的势能函数，它满足a晶格常数n任意整数布洛赫定理：满足(1)式的定态波函数必定具有如下的特殊形式审忘)=巳血谯式中顽)是以晶格常数a为周期的周期函数，即=审好+ 具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数，或布洛赫函数。布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子的波函数为：一个自由电子波函数 eikx与一个具有晶体结构周期性的函数uk(x)的乘积。从布洛赫定理，我们认识到下面几点：周期场中运动的电子波是行波，它受到以晶格周期a为周期的函数uk(x)的调 制。这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的倾向，又有受到周期性排列的离子 影响的特点。只有在uk(x)等于常数时，在周期场中运动的电子的波函数才完全变为自由电子 的波函数。因此，布洛赫函数是比自由电子波函数更接近实际情况的波函数。