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1、高等数学教材完整一、函数与极限 2 1、集合的概念 2 2、常量与变量 3 2、函数 4 3、函数的简单性态 4 4、反函数 一 5 5、复合函数 6 6、初等函数 6 7、双曲函数及反双曲函数 7 8、数列的极限 8 9、函数的极限 9 10、函数极限的运算规则 11一、函数与极限1、集合的概念一般地我 把研究 象 称 元素，把一些元素 成的 体叫集合（ 称集）。集合具有确定性（ 定集合的元素必 是确定的）和互异性（ 定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材 高的人”不能构成集合，因 它的元素不是确定的。如果我 通常用大字拉丁字母A 、B 、C、表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的
2、元素。a 是集合 A 中的元素，就 a 属于 A ， 作： aA ，否 就 a 不属于 A ， 作： aA 。、全体非 整数 成的集合叫做非 整数集（或自然数集）。 作N、所有正整数 成的集合叫做正整数集。 作N +或 N +。、全体整数 成的集合叫做整数集。 作Z。、全体有理数 成的集合叫做有理数集。 作Q。、全体 数 成的集合叫做 数集。 作R。集合的表示方法、列 法：把集合的元素一一列 出来，并用“”括起来表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合 的基本关系、子集：一般地， 于两个集合A 、B ，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我 就说 A 、B 有包
3、含关系，称集合A 集合 B 的子集， 作 AB （或 BA ）。相等：如何集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，此 集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全一 ，因此集合A 与集合 B 相等， 作 A B。、真子集：如何集合A 是集合 B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于 A，我 称集合 A 是集合B 的真子集。、空集：我 把不含任何元素的集合叫做空集。 作，并 定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之 的基本关系，可以得到下面的 ：、任何一个集合是它本身的子集。即AA、 于集合A、 B 、C，如果 A 是 B 的子集， B 是 C 的子集， A 是 C 的子集
4、。、我 可以把相等的集合叫做“等集”， 的 子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素 成的集合称 A 与 B 的并集。 作A B。（在求并集 ，它 的公共元素在并集中只能出 一次。）即 A B x|x A ，或 x B 。、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素 成的集合称 A 与 B 的交集。 作A B。即 A B x|x A ，且 x B 。、 集：全集：一般地，如果一个集合含有我 所研究 中所涉及的所有元素，那么就称 个集合 全集。通常 作U 。 集： 于一个集合A ，由全集 U 中不属于集合A 的所有元素 成的集合
5、称 集合A 相 于全集U的 集。 称 集合A 的 集， 作CUA 。即 CU A x|xU ，且 xA。集合中元素的个数、有限集：我 把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。、用 card 来表示有限集中元素的个数。例如A a,b,c， card(A)=3 。、一般地， 任意两个集合A 、B ，有card(A)+card(B)=card(A B)+card(A B)我的 ：1、学校里开运 会， A x|x 是参加一百米跑的同学，B x|x 是参加二百米跑的同学，C x|x 是参加四百米跑的同学。学校 定，每个参加上述比 的同学最多只能参加两 ， 你用集合的运算 明 定
6、，并解 以下集合运算的含 。、A B ；、 A B 。2、在平面直角坐 系中，集合C (x,y)|y=x 表示直 y x，从 个角度看，集合D=(x,y)| 方程 ：2x-y=1,x+4y=5 表示什么？集合C、D 之 有什么关系？ 分 用集合 言和几何 言 明 种关系。3、已知集合A=x|1 x 3 ， Bx|(x-1)(x-a)=0。 判断B 是不是 A 的子集？是否存在 数a 使 A B 成立？4、 于有限集合A 、B 、C，能不能找出 三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之 的关系呢？5、无限集合A 1，2， 3， 4， n， B 2，4，6，8， 2n，你能 一种比 两个集合中元素
7、个数多少的方法 ？2、常量与 量、 量的定 ：我 在 察某一 象的 程 ，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在 程中不起 化，我 把其称之 常量；有的量在 程中是 化的，也就是可以取不同的数 ，我 把其称之 量 。注： 在 程中 有一种量，它 然是 化的，但是它的 化相 于所研究的 象是极其微小的，我 把它看作常量。、 量的表示：如果 量的 化是 的， 常用区 来表示其 化范 。在数 上来 ，指介于某两点之 的 段上点的全体。区 的名称区 的 足的不等式区 的 号区 在数 上的表示区 是 区 axba ，b开区 ax b（ a，b）半开区 axb 或 ax b（ a，b 或a ，b）以上我 所
8、述的都是有限区 ，除此之外， 有无限区 ：a ，+) ：表示不小于a 的 数的全体，也可 ：ax+；(- ， b) ：表示小于b 的 数的全体，也可 ：- x b；(- ，+) ：表示全体 数，也可 ：- x+注： 其中 - 和+，分 作 无 大 和 正无 大 , 它 不是数 , 是 号。、 域： 设 与 是两个 数，且 0. 足不等式x - 的 数 x 的全体称 点 的 邻域，点 称为此邻域的中心，称为此邻域的半径。2、函数、函数的定义：如果当变量x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量y 按照一定的法则f 总有确定的数值与它对应，则称y 是 x 的函数 。变量 x 的变化范围叫做这个函数的
9、定义域。通常 x 叫做自变量 ，y叫做函数值（或因变量），变量 y 的变化范围叫做这个函数的值域 。 注：为了表明y 是 x 的函数，我们用记号 y=f(x)、y=F(x) 等等来表示。 这里的字母 f 、F 表示 y 与 x 之间的对应法则即函数关系 , 它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数 ，否则叫做 多值函数 。这里我们只讨论单值函数。、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称
10、两个函数相等 。、域函数的表示方法a) ：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，222b) ：表格法 ：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。c) ：图示法 ：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。 例：直角坐标系中，半径为 r 、圆心在原点的圆用图示法表示为：3、函数的简单性态、函数的有界性 ：如果对属于某一区间I的所有x 值总有 f(x)M 成立，其中M是一个与x 无关的常数，那么我们就称f(x)在区间 I 有界，否则便称无界。注： 一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题： 函数 cosx 在 (- ,+ ) 内是有界的.、函数的单调性：如果函数在区间 (a,b)内随着x 增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及 x2 ，当x1 x 2 时，有，则称函数在区间 (a,b)内是单调增加 的。如果函数在区间 (a,b)内随着x 增大而减小， 即：对于 (a,b)内任意两点x 1 及 x 2，当 x 1 x2 时，有，则称函数在区间 (a,b)内是单调减小 的。例题： 函数=x2 在区间 (- ,0) 上是单调减小的，在区间(0,+ ) 上是单调增加的。
