《数列与不等式知识点及练习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列与不等式知识点及练习（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列与不等式一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：anan1d(n2,d为常数)2anan1ani(n2)anknb(n,k为常数).二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：ananiq(n2,q为常数，且0)a2aniani(n2,anan闭i0)(2)在等差数列an中，有关Sn的最值问题：(i/aGO.dv。时，满足am0的项数m使ami0am0得sm取最大值.(2)当ai0时,满足的项数m使得sm取最小值.在解含绝对ami0值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。四.数列通项的常用方法：(i)利用观察法求数列的通项.(2)利用公式法求数列的通项：aS(ni)；annSnSni(n2)a
2、n等差、等比数列an公式.(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：anianf(n);anianf(n).(4)造等差、等比数列求通项：anipanq;anipanqn;anpanf(n);an2paniqan.第一节通项公式常用方法题型i利用公式法求通项例i：i.已知an满足an+i=an+2,而且ai=i。求an。22.已知Sn为数列an的前n项和，求下列数列an的通项公式：Sn2n3ni；Sn2ni.总结:任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：Si(ni)an若a1适合an,则把它们统一起来，否则就用分段函数表示nSnSni(n2)in题型2应用迭加(迭乘、迭代)法求通
3、项例2：已知数列an中，ai2,anani2ni(n2),求数列an的通项公式；2已知Sn为数列an的前n项和，aii，Snnan，求数列an的通项公式.总结：迭加法适用于求递推关系形如“anianf(n)”；迭乘法适用于求递推关系形如“anianf(n)“；迭加法、迭乘法公式：an(anani)(anian2)(an2an3)(a2ai)aian 1 an 2an 1 an 2 an 3a3 a2 al .a2 al题型3构造等比数列求通项例3已知数列an中，a11,an 12an 3,求数列an的通项公式总结：递推关系形如“ an ipan q”适用于待定系数法或特征根法:令an1p(an
4、)；在an1panq中令anianXX,1Pan1Xp(anX)；由an1Panq得anPan1q，an1anP(anan1).例4已知数列an中，a11,an12an3n，求数列烝的通项公式.总结：递推关系形如“an1panqn”通过适当变形可转化为：“an1panq”或an1anf(n)n求解.数列求和的常用方法一公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：Snn(a1an)na1n(n1)d22na1(q1)2、等比数列求和公式：Sn3.a1(1qn)a1anq(q1q1qnSnkk 11，、 n
5、(n 1)42n 21Sn k -n(n 1)(2n 1) k 165.Cn312Snk3-n(n1)2二.裂项相消法：适用于 一- anan 1k12其中an是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理1，一数列、含阶乘的数列等。例2求数列的前n项和n(n1)这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如：(1)an1n(n1)an(2n)2(2n1)(2n1)1111()22n12n1(3)ann(n1)(n2)(n1)(n2)口(口+k)1nn+kiri三.错位相减法：可以求形如工）
6、的数歹U的和,其中xj为等差数列，rJ为等比数列.q=例1:求和：*前n项的和.16例2:数歹U1,3x,5x2,(2n-1)xn-1小结：错位相减法类型题均为:等差数列a,人受上冷连续相加。四.常用结论等比数列3)1+2+3+.+nn(n1)13235)1.一n(n21221)4)121+3+5+.+(2n-1)2232n(n1)n(n2)(1-nn1n(n61)(2n1)重要不等式1、和积不等式:a,b【变形】：ab【注意】：Tab2ab（当且仅当a(a,b2、均值不等式：两个正数a、间的关系，即平方平均算术平均0,（当a=b时，（b时取到2.2abab)0,0,ab2_ab3abca、b
7、、c为正数）：（abc0等式即可成立，aabc&(bc,3abc或ab3,33abc3c0时取等）;*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当ab0时，a2b22ab同时除以1b。2*a,b,均为正数，a2ab2卜2八种变式：aba一-2ab2,2ababJ2(a2b2);若b0,则2a-2abb;a0,b0,贝U1a,112若a0,b0,则(一)2ab4ab，若ab1b2上述八个不等式中等号成立的条件都是放缩不等式：ab”。0,abm,(a【拓展】a,b,c0,0,m糖水的浓度问题）m0,、nb则；a1ad一；c2,n1n(xx0),ex1(xR)函数f(x)ax(a、xb0）
8、图象及性质b(1)函数f(x)axxa、b0图象如图:(2)函数f(x)axa、b0性质:值域：（2,ab,);）；单调递减区间：（0,-A。)P（定值），则当x y时和x y有最小值 2而； x, y 0,由x y2jxy,若和 x单调递增区间:最值定理（积定和最小）x,y0,由xy2xy,若积xy（和定积最大）12yS（定值），则当xy是积xy有最大值s.4【推广】：已知x,yR,则有（x22_y)(xy)2xy.(1)小.(2)若积xy是定值，则当|xy|最大时，|xy|最大；当|xy|最小时，|xy|最若和|xy|是定值，则当|x已知a,x,b,yR1(axby)(-x，若axby1一
9、)yabbyy|最大时，|xy|最小；当|xy|最小时，|xy|最大.1I十一1,则有则工y的最小值为：-ab2jab(/aVb)2y已知则和号的最小值为:耳十y二0十_/）四十与二段十小十竺十处2厘十方-2y/ab=（如十加尸1二日十士之2 （ah应用基本不等式求最值的凑系数（乘、除变量系数）“八种变形技巧”.例1.当凑项（加、减常数项）：例2.已知x2x调整分子：例3.求函数f（x） 0547xx 1x 4时,10.(x求函的数yf (x) 4x1）的值域;x(8 2x)最大值.14x 5的最大值.ab变用公式：基本不等式Jab有几个常用变形，2a2b2aboa(ab)2不易想到，应重视;
10、2215.例4.求函数y也x1V52x(x-)的取大值;22连用公式:5.已知a16的最小值;b(ab)对数变换:6.已知x12,y1,且xye,求t(2x)lny的最大值;三角变换:7.已知0且tanx3tany,求ty的最大值;常数代换(逆用条件)：例8.已知a0,b1，-的最小值b1、数列1,2,3,4,f的一个通项公式20是(357A、2n12、已知等比数列A、3、已知等差数列A、4、已知A、172MNC、2n2a4,a1八.2C231则a?DkD、2n)则下列不等式：(1)a0已知a4a6C、192a50则S9D、20a1a21则M与N的大小关系C、M=Nb,(3)aD、不确定2c,
11、(4)a2cf一中b正确的是(A、(1)6、不等式丝B、(2)(3)C(1)(3)D、(3)(4)A、x7、设Sn是等差数列A、18、在a0,bb2aA、09、目标函数zA、zmaxCZmin的解集是B、C、xD、an的前n项和，若a5a355，则S9S5B、D、0的条件下,三个结论:2ababab,其中正确的个数是B、1C、24y3D、32xy,变量x,y满足12,Zmin33,z无最大值10、在R上定义运算：xyx(13x5y25,则有1B、D、y).若不等式Zmax12,Z无最小值Z既无最大值，也无最小值(xa)(xa)1对任意实数x成立,则（）-13331A、1a1B、0a2C、一aD、一
